Номер 887, страница 253 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

887. Переход атома водорода со второго энергетического уровня на первый сопровождается ультрафиолетовым излучением с длиной волны $\lambda$. Определите главное квантовое число, характеризующее состояние атома, в которое перейдет атом со второго энергетического уровня, поглотив фотон с длиной волны $4\lambda$.

Дано:

Первый переход (излучение): с уровня $n_1 = 2$ на уровень $m_1 = 1$.
Длина волны излучения: $\lambda_1 = \lambda$.
Второй переход (поглощение): с уровня $n_2 = 2$ на уровень $m_2$.
Длина волны поглощения: $\lambda_2 = 4\lambda$.

Найти:

Главное квантовое число конечного состояния $m_2$.

Решение:

Для описания переходов электрона в атоме водорода между энергетическими уровнями используется обобщенная формула Бальмера (формула Ридберга): $$ \frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{m^2} - \frac{1}{n^2} \right) $$ где $\lambda$ — длина волны фотона, $R$ — постоянная Ридберга, $m$ и $n$ — главные квантовые числа. При излучении (переход на более низкий уровень) $n > m$, а при поглощении (переход на более высокий уровень) $m$ — начальный уровень, $n$ — конечный.

1. Запишем формулу для первого случая: переход атома со второго энергетического уровня ($n_1=2$) на первый ($m_1=1$). Это переход с излучением фотона с длиной волны $\lambda$. $$ \frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = R \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = \frac{3R}{4} $$ Это соотношение связывает длину волны $\lambda$ с постоянной Ридберга $R$.

2. Запишем формулу для второго случая: атом на втором энергетическом уровне ($n_2=2$) поглощает фотон с длиной волны $4\lambda$ и переходит на более высокий энергетический уровень $m_2$. $$ \frac{1}{4\lambda} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{m_2^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{m_2^2} \right) $$

3. Теперь у нас есть система из двух уравнений. Подставим выражение для $\frac{1}{\lambda}$ из первого уравнения во второе: $$ \frac{1}{4} \left( \frac{3R}{4} \right) = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{m_2^2} \right) $$ Сократим постоянную Ридберга $R$ в обеих частях уравнения: $$ \frac{3}{16} = \frac{1}{4} - \frac{1}{m_2^2} $$ Выразим из этого уравнения $\frac{1}{m_2^2}$: $$ \frac{1}{m_2^2} = \frac{1}{4} - \frac{3}{16} $$ Приведем дроби к общему знаменателю (16): $$ \frac{1}{m_2^2} = \frac{4}{16} - \frac{3}{16} = \frac{1}{16} $$ Отсюда получаем: $$ m_2^2 = 16 $$ Так как главное квантовое число — это положительное целое число, извлекаем квадратный корень: $$ m_2 = 4 $$

Таким образом, поглотив фотон с длиной волны $4\lambda$, атом водорода перейдет со второго на четвертый энергетический уровень.
Ответ: Главное квантовое число, характеризующее состояние, в которое перейдет атом, равно 4.