Номер 883, страница 252 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

883. При переходе некоторого атома с четвертого энергетического уровня на второй и с пятого на второй излучаются фотоны с длинами волн $\lambda_{42} = 486$ нм и $\lambda_{52} = 410$ нм. Определите длину волны света, испускаемого этим атомом при переходе с пятого уровня на четвертый.

Дано:

Длина волны при переходе с четвертого на второй уровень: $\lambda_{42} = 486$ нм.
Длина волны при переходе с пятого на второй уровень: $\lambda_{52} = 410$ нм.

Перевод в систему СИ:
$\lambda_{42} = 486 \cdot 10^{-9}$ м.
$\lambda_{52} = 410 \cdot 10^{-9}$ м.

Найти:

Длину волны света при переходе с пятого на четвертый уровень: $\lambda_{54}$.

Решение:

Согласно постулатам Бора, при переходе электрона в атоме с более высокого энергетического уровня $E_m$ на более низкий уровень $E_n$ излучается фотон. Энергия этого фотона $\Delta E$ равна разности энергий данных уровней:

$\Delta E = E_m - E_n$

Энергия фотона связана с длиной его волны $\lambda$ формулой Планка:

$E = \frac{hc}{\lambda}$

где $h$ — постоянная Планка, а $c$ — скорость света в вакууме.

Для переходов, указанных в условии, можно записать следующие соотношения:

1. Для перехода с четвертого ($n=4$) на второй ($n=2$) уровень:

$\Delta E_{42} = E_4 - E_2 = \frac{hc}{\lambda_{42}}$

2. Для перехода с пятого ($n=5$) на второй ($n=2$) уровень:

$\Delta E_{52} = E_5 - E_2 = \frac{hc}{\lambda_{52}}$

Энергия фотона, излучаемого при искомом переходе с пятого на четвертый уровень, будет равна:

$\Delta E_{54} = E_5 - E_4 = \frac{hc}{\lambda_{54}}$

Разность энергий $E_5 - E_4$ можно выразить через известные разности энергий. Для этого вычтем энергию перехода $4 \to 2$ из энергии перехода $5 \to 2$:

$\Delta E_{54} = E_5 - E_4 = (E_5 - E_2) - (E_4 - E_2) = \Delta E_{52} - \Delta E_{42}$

Теперь подставим в это выражение формулы для энергий фотонов:

$\frac{hc}{\lambda_{54}} = \frac{hc}{\lambda_{52}} - \frac{hc}{\lambda_{42}}$

Сократим постоянный множитель $hc$ в обеих частях уравнения. Это соотношение известно как комбинационный принцип Ритца.

$\frac{1}{\lambda_{54}} = \frac{1}{\lambda_{52}} - \frac{1}{\lambda_{42}}$

Выразим искомую длину волны $\lambda_{54}$:

$\frac{1}{\lambda_{54}} = \frac{\lambda_{42} - \lambda_{52}}{\lambda_{52} \cdot \lambda_{42}}$

$\lambda_{54} = \frac{\lambda_{52} \cdot \lambda_{42}}{\lambda_{42} - \lambda_{52}}$

Подставим числовые значения. Расчет можно вести в нанометрах, так как единицы измерения в итоговой формуле сокращаются.

$\lambda_{54} = \frac{410 \text{ нм} \cdot 486 \text{ нм}}{486 \text{ нм} - 410 \text{ нм}} = \frac{199260 \text{ нм}^2}{76 \text{ нм}} \approx 2621.84 \text{ нм}$

Округлим результат до трех значащих цифр, как в исходных данных.

$\lambda_{54} \approx 2620$ нм

Ответ: длина волны света, испускаемого атомом при переходе с пятого уровня на четвертый, составляет приблизительно $2620$ нм.