Номер 878, страница 252 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

878. Спектр атома водорода содержит четыре линии, принадлежащие видимой области шкалы электромагнитных волн. Определите длины волн этих спектральных линий, если их излучение происходит при переходе атома водорода из возбужденного состояния на второй энергетический уровень.

Дано:

Атом водорода.
Конечный энергетический уровень: $ n_f = 2 $.
Рассматриваются 4 линии в видимой области, что соответствует переходам с начальных энергетических уровней: $ n_i = 3, 4, 5, 6 $.
Постоянная Ридберга: $ R \approx 1,097 \cdot 10^7 \, \text{м}^{-1} $.

Найти:

Длины волн четырех спектральных линий: $ \lambda_1, \lambda_2, \lambda_3, \lambda_4 $.

Решение:

Излучение, возникающее при переходе электронов в атоме водорода с возбужденных энергетических уровней на второй уровень ($ n_f = 2 $), формирует спектральную серию Бальмера. Первые четыре линии этой серии находятся в видимой части электромагнитного спектра.

Для определения длин волн этих линий используется обобщенная формула Бальмера, также известная как формула Ридберга:

$ \frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right) $

где $ \lambda $ – длина волны испускаемого фотона, $ R $ – постоянная Ридберга, $ n_f $ – главный квантовый номер конечного уровня, $ n_i $ – главный квантовый номер начального уровня ($ n_i > n_f $).

В нашем случае $ n_f = 2 $. Рассчитаем длины волн для переходов с уровней $ n_i = 3, 4, 5 $ и $ 6 $.

1. Переход с третьего уровня на второй ($ n_i = 3 $):

$ \frac{1}{\lambda_1} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = R \frac{9-4}{36} = \frac{5R}{36} $

$ \lambda_1 = \frac{36}{5R} = \frac{36}{5 \cdot 1,097 \cdot 10^7 \, \text{м}^{-1}} \approx 6,563 \cdot 10^{-7} \, \text{м} = 656,3 \, \text{нм} $ (красная линия, Hα).

2. Переход с четвертого уровня на второй ($ n_i = 4 $):

$ \frac{1}{\lambda_2} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right) = R \frac{4-1}{16} = \frac{3R}{16} $

$ \lambda_2 = \frac{16}{3R} = \frac{16}{3 \cdot 1,097 \cdot 10^7 \, \text{м}^{-1}} \approx 4,861 \cdot 10^{-7} \, \text{м} = 486,1 \, \text{нм} $ (сине-зеленая линия, Hβ).

3. Переход с пятого уровня на второй ($ n_i = 5 $):

$ \frac{1}{\lambda_3} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{5^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{25} \right) = R \frac{25-4}{100} = \frac{21R}{100} $

$ \lambda_3 = \frac{100}{21R} = \frac{100}{21 \cdot 1,097 \cdot 10^7 \, \text{м}^{-1}} \approx 4,340 \cdot 10^{-7} \, \text{м} = 434,0 \, \text{нм} $ (синяя линия, Hγ).

4. Переход с шестого уровня на второй ($ n_i = 6 $):

$ \frac{1}{\lambda_4} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{6^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{36} \right) = R \frac{9-1}{36} = \frac{8R}{36} = \frac{2R}{9} $

$ \lambda_4 = \frac{9}{2R} = \frac{9}{2 \cdot 1,097 \cdot 10^7 \, \text{м}^{-1}} \approx 4,102 \cdot 10^{-7} \, \text{м} = 410,2 \, \text{нм} $ (фиолетовая линия, Hδ).

Ответ:

Длины волн четырех спектральных линий видимого диапазона для атома водорода при переходе электронов на второй энергетический уровень составляют: $ \lambda_1 \approx 656,3 \, \text{нм} $, $ \lambda_2 \approx 486,1 \, \text{нм} $, $ \lambda_3 \approx 434,0 \, \text{нм} $ и $ \lambda_4 \approx 410,2 \, \text{нм} $.