Номер 871, страница 251 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

871. *Сколько различных спектральных линий может содержать спектр излучения атомарного водорода, если атомы водорода находятся на $n$-м энергетическом уровне?

Дано:

Атомы водорода находятся в возбужденном состоянии на $n$-м энергетическом уровне.

Найти:

Общее число $N$ различных спектральных линий в спектре излучения.

Решение:

Спектральная линия в спектре излучения атома водорода возникает при переходе электрона с более высокого энергетического уровня на более низкий. При этом излучается фотон с энергией, равной разности энергий этих уровней.

Если атом находится на $n$-м энергетическом уровне, это означает, что его электрон находится на $n$-й орбите. Этот электрон может совершить переход на любой из нижележащих уровней: $(n-1), (n-2), \dots, 2, 1$. После такого перехода атом может снова оказаться в возбужденном состоянии (если переход был не на первый, основной уровень) и может продолжать излучать фотоны, переходя на еще более низкие уровни, пока не достигнет основного состояния (уровень 1).

Общее количество различных спектральных линий будет равно общему числу всех возможных переходов между любыми двумя уровнями $i$ и $j$, где $1 \le j < i \le n$.

Рассмотрим все возможные переходы, которые могут дать уникальные спектральные линии:

1. С уровня $n$ электрон может перейти на любой из $n-1$ нижележащих уровней (с $(n-1)$-го по 1-й). Это дает $n-1$ возможных линий.

2. С уровня $n-1$ электрон может перейти на любой из $n-2$ нижележащих уровней (с $(n-2)$-го по 1-й). Это дает $n-2$ новые возможные линии.

3. Этот процесс продолжается. С уровня $k$ возможны переходы на $k-1$ нижних уровней.

4. Наконец, с уровня 2 возможен только один переход — на уровень 1. Это дает 1 линию.

Чтобы найти общее число $N$ различных спектральных линий, нужно сложить число всех возможных переходов со всех уровней от $n$ до 2:

$N = (n-1) + (n-2) + \dots + 2 + 1$

Это является суммой членов арифметической прогрессии. Сумма первых $k$ натуральных чисел вычисляется по формуле $S_k = \frac{k(k+1)}{2}$. В нашем случае $k = n-1$.

Подставим $k=n-1$ в формулу:

$N = \frac{(n-1)((n-1)+1)}{2} = \frac{n(n-1)}{2}$

Эту же задачу можно решить с помощью комбинаторики. Каждая спектральная линия соответствует уникальному переходу между двумя различными уровнями, скажем, с уровня $i$ на уровень $j$ (где $i > j$). Таким образом, общее число линий равно числу способов выбрать 2 различных энергетических уровня из $n$ имеющихся. Это число сочетаний из $n$ по 2:

$N = C_n^2 = \frac{n!}{2!(n-2)!} = \frac{n(n-1)(n-2)!}{2 \cdot 1 \cdot (n-2)!} = \frac{n(n-1)}{2}$

Оба метода приводят к одному и тому же результату.

Ответ: Спектр излучения атомарного водорода, атомы которого находятся на $n$-м энергетическом уровне, может содержать $N = \frac{n(n-1)}{2}$ различных спектральных линий.