Номер 868, страница 249 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

868. Во сколько раз длина волны света, излучаемого атомом водорода при переходе с третьего энергетического уровня на второй больше длины волны света, излучаемого при переходе атома со второго энергетического уровня на первый?

Дано:

Первый переход: с начального уровня $n_1 = 3$ на конечный уровень $k_1 = 2$.
Второй переход: с начального уровня $n_2 = 2$ на конечный уровень $k_2 = 1$.

Найти:

Отношение длин волн $\frac{\lambda_{3\to2}}{\lambda_{2\to1}}$.

Решение:

Для определения длины волны света, излучаемого атомом водорода при переходе электрона между энергетическими уровнями, используется формула Ридберга:

$\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{k^2} - \frac{1}{n^2} \right)$

где $\lambda$ — длина волны, $R$ — постоянная Ридберга, $n$ — главное квантовое число начального (более высокого) уровня, $k$ — главное квантовое число конечного (более низкого) уровня.

Найдем обратную длину волны $\frac{1}{\lambda_{3\to2}}$ для перехода с третьего уровня на второй ($n=3, k=2$):

$\frac{1}{\lambda_{3\to2}} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = R \left( \frac{9-4}{36} \right) = \frac{5R}{36}$

Отсюда, длина волны для первого перехода равна:

$\lambda_{3\to2} = \frac{36}{5R}$

Теперь найдем обратную длину волны $\frac{1}{\lambda_{2\to1}}$ для перехода со второго уровня на первый ($n=2, k=1$):

$\frac{1}{\lambda_{2\to1}} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = R \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = R \left( \frac{4-1}{4} \right) = \frac{3R}{4}$

Отсюда, длина волны для второго перехода равна:

$\lambda_{2\to1} = \frac{4}{3R}$

Теперь найдем искомое отношение длин волн:

$\frac{\lambda_{3\to2}}{\lambda_{2\to1}} = \frac{\frac{36}{5R}}{\frac{4}{3R}} = \frac{36}{5R} \cdot \frac{3R}{4} = \frac{36 \cdot 3}{5 \cdot 4}$

Сократим числитель и знаменатель на 4 и на $R$:

$\frac{\lambda_{3\to2}}{\lambda_{2\to1}} = \frac{9 \cdot 3}{5} = \frac{27}{5} = 5.4$

Ответ: Длина волны света при переходе с третьего энергетического уровня на второй больше длины волны света при переходе со второго на первый в 5,4 раза.