Номер 870, страница 250 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

870. На рисунке 216 представлена диаграмма энергетических уровней атома водорода. Стрелками показаны переходы атома из одного энергетического состояния в другое. Определите:

а) *какой переход сопровождался поглощением фотона с наибольшим импульсом;

б)*какой переход сопровождался излучением фотона с наименьшим импульсом;

в) во сколько раз возросла энергия атома при переходе 3;

г)*во сколько раз увеличился модуль силы притяжения электрона к протону при переходе 5;

д) какой области спектра электромагнитных излучений принадлежит излучение атома при переходе 1.

$n=6$
$n=5$
$n=4$
$n=3$
$n=2$
$n=1$

Рис. 216

а) Поглощение фотона происходит, когда атом переходит на более высокий энергетический уровень. На диаграмме это переходы 2 (с $n=2$ на $n=5$) и 3 (с $n=2$ на $n=4$), так как стрелки направлены вверх. Импульс фотона $p$ прямо пропорционален его энергии $\Delta E$ ($p = \Delta E / c$). Следовательно, наибольший импульс имеет фотон, поглощенный при переходе с наибольшей разностью энергий. Энергия $n$-го уровня атома водорода $E_n = -E_0/n^2$. Разность энергий больше для перехода на более далекий уровень, что видно и по длине стрелок на диаграмме. Сравним энергии поглощенных фотонов:
Для перехода 2: $\Delta E_2 = E_5 - E_2 = E_0(\frac{1}{2^2} - \frac{1}{5^2}) = E_0(\frac{1}{4} - \frac{1}{25}) = 0.21 E_0$.
Для перехода 3: $\Delta E_3 = E_4 - E_2 = E_0(\frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2}) = E_0(\frac{1}{4} - \frac{1}{16}) = 0.1875 E_0$.
Так как $\Delta E_2 > \Delta E_3$, наибольшим импульсом обладает фотон, поглощенный при переходе 2.
Ответ: переход 2.

б) Излучение фотона происходит, когда атом переходит на более низкий энергетический уровень. На диаграмме это переходы 1 (с $n=3$ на $n=1$), 4 (с $n=4$ на $n=2$) и 5 (с $n=5$ на $n=2$), так как стрелки направлены вниз. Наименьший импульс будет у фотона с наименьшей энергией излучения. Сравним энергии излучённых фотонов:
Для перехода 1: $\Delta E_1 = E_3 - E_1 = E_0(\frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2}) = \frac{8}{9} E_0 \approx 0.889 E_0$.
Для перехода 4: $\Delta E_4 = E_4 - E_2 = E_0(\frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2}) = \frac{3}{16} E_0 = 0.1875 E_0$.
Для перехода 5: $\Delta E_5 = E_5 - E_2 = E_0(\frac{1}{2^2} - \frac{1}{5^2}) = \frac{21}{100} E_0 = 0.21 E_0$.
Наименьшая энергия $\Delta E_4 = 0.1875 E_0$, следовательно, при переходе 4 излучается фотон с наименьшим импульсом.
Ответ: переход 4.

в) Дано:
Переход 3: с начального уровня $n_1=2$ на конечный уровень $n_2=4$.
Найти:
Во сколько раз возросла энергия атома, т.е. найти отношение $\frac{E_{n_2}}{E_{n_1}}$.
Решение:
Энергия стационарного состояния атома водорода с главным квантовым числом $n$ определяется формулой $E_n = -\frac{E_0}{n^2}$, где $E_0$ - энергия ионизации.
Энергия атома на начальном уровне $n_1 = 2$ равна $E_2 = -\frac{E_0}{2^2} = -\frac{E_0}{4}$.
Энергия атома на конечном уровне $n_2 = 4$ равна $E_4 = -\frac{E_0}{4^2} = -\frac{E_0}{16}$.
Так как $E_4 > E_2$ ($-E_0/16 > -E_0/4$), энергия атома действительно возросла. Найдем отношение конечной энергии к начальной:
$\frac{E_4}{E_2} = \frac{-E_0/16}{-E_0/4} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4} = 0.25$.
Энергия атома стала равной 0.25 от её начального значения. Так как энергия отрицательна, это соответствует её увеличению (она стала менее отрицательной).
Ответ: в 0.25 раза.

г) Дано:
Переход 5: с начального уровня $n_1=5$ на конечный уровень $n_2=2$.
Найти:
Во сколько раз увеличился модуль силы притяжения, т.е. найти отношение $\frac{F_2}{F_5}$.
Решение:
Модуль силы кулоновского притяжения электрона к протону $F$ обратно пропорционален квадрату радиуса орбиты $r$: $F \sim \frac{1}{r^2}$.
Радиус $n$-ой боровской орбиты $r_n$ прямо пропорционален квадрату главного квантового числа $n$: $r_n \sim n^2$.
Следовательно, сила притяжения на $n$-ом уровне обратно пропорциональна четвертой степени главного квантового числа: $F_n \sim \frac{1}{(n^2)^2} = \frac{1}{n^4}$.
При переходе с уровня $n_1=5$ на уровень $n_2=2$ отношение сил будет:
$\frac{F_2}{F_5} = \frac{1/n_2^4}{1/n_1^4} = \frac{n_1^4}{n_2^4} = \frac{5^4}{2^4} = \frac{625}{16} = 39.0625$.
Ответ: в 39.0625 раза.

д) Решение:
Переход 1 соответствует переходу электрона с третьего энергетического уровня ($n=3$) на первый, основной уровень ($n=1$).
Совокупность спектральных линий, возникающих при переходах электронов с верхних энергетических уровней на первый, называется серией Лаймана. Все линии серии Лаймана для атома водорода лежат в ультрафиолетовой области спектра.
Для проверки рассчитаем длину волны излучения. Энергия излучённого фотона: $\Delta E = E_0 (\frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2}) = \frac{8}{9} E_0$.
Принимая энергию ионизации водорода $E_0 \approx 13.6$ эВ, получаем $\Delta E \approx 12.09$ эВ.
Длина волны $\lambda = \frac{hc}{\Delta E} \approx \frac{1240 \text{ эВ} \cdot \text{нм}}{12.09 \text{ эВ}} \approx 102.6$ нм.
Поскольку видимый диапазон спектра составляет примерно 400–750 нм, длина волны 102.6 нм относится к ультрафиолетовой области.
Ответ: ультрафиолетовая область.