Номер 880, страница 252 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

880. Атомы водорода, находящиеся в основном состоянии, под действием света изменили свою энергию на $\Delta E = 12,1$ эВ. Сколько линий будет в спектре излучения при переходе атомов на более низкие энергетические уровни?

Дано:

Атомы водорода в основном состоянии, $n_1 = 1$

Изменение энергии $\Delta E = 12,1 \text{ эВ}$

Перевод в СИ:

$\Delta E = 12,1 \text{ эВ} \cdot 1,602 \cdot 10^{-19} \text{ Дж/эВ} \approx 1,938 \cdot 10^{-18} \text{ Дж}$

Найти:

Количество линий в спектре излучения, $N$

Решение:

Энергия электрона в атоме водорода на n-м энергетическом уровне определяется формулой Бора:

$E_n = - \frac{E_0}{n^2}$

где $E_0 \approx 13,6 \text{ эВ}$ — энергия ионизации водорода (постоянная Ридберга в энергетических единицах), а $n$ — главное квантовое число ($n = 1, 2, 3, ...$).

В основном состоянии атом водорода находится на первом энергетическом уровне ($n_1 = 1$). Энергия этого состояния равна:

$E_1 = - \frac{13,6 \text{ эВ}}{1^2} = -13,6 \text{ эВ}$

Под действием света атом поглощает фотон с энергией $\Delta E$ и переходит в возбужденное состояние с энергией $E_{n_2}$ и главным квантовым числом $n_2$.

$E_{n_2} = E_1 + \Delta E$

$E_{n_2} = -13,6 \text{ эВ} + 12,1 \text{ эВ} = -1,5 \text{ эВ}$

Теперь найдем главное квантовое число $n_2$ для этого возбужденного состояния, подставив найденную энергию в формулу Бора:

$E_{n_2} = - \frac{13,6 \text{ эВ}}{n_2^2}$

$-1,5 \text{ эВ} = - \frac{13,6 \text{ эВ}}{n_2^2}$

$n_2^2 = \frac{13,6}{1,5} \approx 9,07$

Поскольку главное квантовое число $n_2$ должно быть целым, округляем полученное значение до ближайшего целого квадрата: $n_2^2 = 9$, следовательно $n_2 = 3$.

Проверим правильность определения уровня. Энергия на третьем уровне равна:

$E_3 = - \frac{13,6 \text{ эВ}}{3^2} = - \frac{13,6}{9} \approx -1,51 \text{ эВ}$.

Тогда изменение энергии при переходе с 1-го на 3-й уровень:

$\Delta E_{1\to3} = E_3 - E_1 = (-1,51 \text{ эВ}) - (-13,6 \text{ эВ}) = 12,09 \text{ эВ}$.

Это значение с высокой точностью совпадает с заданным значением $12,1 \text{ эВ}$. Таким образом, атом водорода возбуждается до третьего энергетического уровня ($n=3$).

При возвращении в основное состояние возбужденный атом излучает фотоны. Возможны следующие переходы на более низкие уровни, каждый из которых соответствует одной линии в спектре излучения: с $n=3$ на $n=2$; с $n=3$ на $n=1$; с $n=2$ на $n=1$. Всего возможно 3 перехода.

Количество возможных спектральных линий $N$ при переходе атома из возбужденного состояния с главным квантовым числом $n$ на все более низкие уровни можно также рассчитать по общей формуле:

$N = \frac{n(n-1)}{2}$

Для $n=3$ получаем:

$N = \frac{3(3-1)}{2} = \frac{3 \cdot 2}{2} = 3$

Ответ: в спектре излучения будет 3 линии.