Номер 888, страница 253 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

888. При переходе атомы водорода с шестого энергетического уровня на второй излучается фотон с частотой $v$. Определите номер энергетического уровня, с которого должен перейти атом водорода на первый уровень, чтобы частота излученного фотона была равна $4v$.

Дано:
Переход 1: с уровня $n_1 = 6$ на уровень $m_1 = 2$.
Частота фотона 1: $ν_1 = ν$.
Переход 2: с уровня $n_2$ на уровень $m_2 = 1$.
Частота фотона 2: $ν_2 = 4ν$.

Найти:
Номер энергетического уровня $n_2$.

Решение:

Энергия фотона, излучаемого при переходе электрона в атоме водорода с энергетического уровня $n$ на уровень $m$, определяется формулой Бора:$hν = E_n - E_m$.Энергия электрона на $k$-м уровне в атоме водорода равна $E_k = -\frac{E_0}{k^2}$, где $E_0$ — энергия ионизации атома водорода (постоянная величина).

Следовательно, частота излученного фотона может быть выражена как:$ν = \frac{E_n - E_m}{h} = \frac{1}{h} \left( -\frac{E_0}{n^2} - \left(-\frac{E_0}{m^2}\right) \right) = \frac{E_0}{h} \left( \frac{1}{m^2} - \frac{1}{n^2} \right)$.Обозначим постоянную величину $\frac{E_0}{h}$ как $R$ (постоянная Ридберга). Тогда формула примет вид:$ν = R \left( \frac{1}{m^2} - \frac{1}{n^2} \right)$.

Для первого перехода (с $n_1=6$ на $m_1=2$) частота $ν$ равна:$ν = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{6^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{36} \right) = R \left( \frac{9-1}{36} \right) = R \frac{8}{36} = R \frac{2}{9}$.

Для второго перехода (с неизвестного уровня $n_2$ на $m_2=1$) частота $ν_2 = 4ν$:$ν_2 = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right) = R \left( 1 - \frac{1}{n_2^2} \right)$.

Мы знаем, что $ν_2 = 4ν$. Подставим выражение для $ν$ из первого случая:$ν_2 = 4 \left( R \frac{2}{9} \right) = R \frac{8}{9}$.

Теперь приравняем два полученных выражения для $ν_2$:$R \left( 1 - \frac{1}{n_2^2} \right) = R \frac{8}{9}$.

Сократим постоянную $R$ и решим уравнение относительно $n_2$:$1 - \frac{1}{n_2^2} = \frac{8}{9}$
$\frac{1}{n_2^2} = 1 - \frac{8}{9}$
$\frac{1}{n_2^2} = \frac{1}{9}$
$n_2^2 = 9$.
Так как номер уровня $n_2$ является положительным целым числом, получаем $n_2 = 3$.

Ответ: 3.