Номер 5, страница 110 - гдз по физике 11 класс учебник Жилко, Маркович

5. Монохроматический свет падает нормально на дифракционную решетку. Дифракционный максимум первого порядка наблюдается под углом $\theta = 12^\circ$. Сколько других порядков $m$ может наблюдаться и под какими углами?

Дано:

Порядок первого максимума $m_1 = 1$

Угол первого максимума $\theta_1 = 12^\circ$

Найти:

Количество других наблюдаемых порядков $m$ и соответствующие им углы $\theta_m$.

Решение:

Условие для наблюдения дифракционных максимумов для решетки, на которую свет падает нормально, определяется формулой:

$d \sin \theta_m = m \lambda$

где $d$ — период дифракционной решетки, $\theta_m$ — угол, под которым наблюдается максимум $m$-го порядка, $m$ — целое число (порядок максимума), $\lambda$ — длина волны света.

Для максимума первого порядка ($m=1$) по условию задачи имеем:

$d \sin \theta_1 = 1 \cdot \lambda$

Из этого уравнения можно выразить отношение длины волны к периоду решетки:

$\frac{\lambda}{d} = \sin \theta_1 = \sin(12^\circ)$

Теперь мы можем найти углы для других порядков, подставив это соотношение в общую формулу:

$\sin \theta_m = m \frac{\lambda}{d} = m \sin(12^\circ)$

Максимум можно наблюдать только в том случае, если синус его угла не превышает 1 по абсолютной величине, то есть $|\sin \theta_m| \le 1$. Для положительных порядков это означает:

$m \sin(12^\circ) \le 1$

Отсюда найдем максимально возможный порядок максимума $m_{max}$:

$m \le \frac{1}{\sin(12^\circ)}$

Вычислим значение $\sin(12^\circ) \approx 0.2079$.

$m \le \frac{1}{0.2079} \approx 4.81$

Поскольку порядок $m$ должен быть целым числом, максимальный наблюдаемый порядок равен $m_{max} = 4$.

Таким образом, на дифракционной решетке можно наблюдать максимумы порядков $m = 1, 2, 3, 4$ (а также симметричные им отрицательные и центральный максимум $m=0$).

В задаче спрашивается о "других" порядках, то есть о порядках, отличных от уже известного первого ($m=1$). Это порядки $m=2, m=3, m=4$. Всего 3 других порядка.

Найдем углы, под которыми они наблюдаются:

Для m=2:

$\sin \theta_2 = 2 \sin(12^\circ) \approx 2 \cdot 0.2079 = 0.4158$

$\theta_2 = \arcsin(0.4158) \approx 24.6^\circ$

Для m=3:

$\sin \theta_3 = 3 \sin(12^\circ) \approx 3 \cdot 0.2079 = 0.6237$

$\theta_3 = \arcsin(0.6237) \approx 38.6^\circ$

Для m=4:

$\sin \theta_4 = 4 \sin(12^\circ) \approx 4 \cdot 0.2079 = 0.8316$

$\theta_4 = \arcsin(0.8316) \approx 56.3^\circ$

Для $m=5$ получаем $\sin \theta_5 = 5 \sin(12^\circ) \approx 1.0395 > 1$, что невозможно, поэтому максимум пятого порядка не наблюдается.

Ответ: Можно наблюдать 3 других порядка (второй, третий и четвертый). Углы, под которыми наблюдаются эти максимумы:
для $m=2$: $\theta_2 \approx 24.6^\circ$
для $m=3$: $\theta_3 \approx 38.6^\circ$
для $m=4$: $\theta_4 \approx 56.3^\circ$