Номер 6, страница 110 - гдз по физике 11 класс учебник Жилко, Маркович

6. Свет с длинами волн от $\lambda_1 = 400 \text{ нм}$ до $\lambda_2 = 780 \text{ нм}$ падает нормально на дифракционную решетку. В каких порядках может произойти перекрытие максимумов и минимумов? Зависит ли ответ от ширины щели?

Дано:
Диапазон длин волн света: от $\lambda_1 = 400 \text{ нм}$ до $\lambda_2 = 780 \text{ нм}$.

Найти:
Порядки $k$, в которых может произойти перекрытие спектров; зависимость ответа от ширины щели.

Решение:

В каких порядках может произойти перекрытие максимумов и минимумов?
Условие для главных максимумов дифракционной решетки имеет вид: $d \sin\theta = k\lambda$ где $d$ – период решетки, $\theta$ – угол дифракции, $k$ – порядок максимума (целое число $k=0, 1, 2, ...$), $\lambda$ – длина волны света.

Для заданного диапазона длин волн $[\lambda_1, \lambda_2]$ спектр $k$-го порядка будет наблюдаться в диапазоне углов от $\theta_{k,1}$ до $\theta_{k,2}$, которые определяются условиями: $d \sin\theta_{k,1} = k\lambda_1$ (фиолетовая граница спектра) $d \sin\theta_{k,2} = k\lambda_2$ (красная граница спектра)

Перекрытие (наложение) спектра $k$-го порядка и спектра следующего, $(k+1)$-го порядка, произойдет, если красная граница спектра $k$-го порядка окажется под большим углом, чем фиолетовая граница спектра $(k+1)$-го порядка. Математически это условие записывается как: $\theta_{k,2} \ge \theta_{k+1,1}$

Поскольку для углов от 0 до 90° функция синуса является возрастающей, это неравенство эквивалентно следующему: $\sin\theta_{k,2} \ge \sin\theta_{k+1,1}$

Подставим выражения для синусов из формулы дифракционной решетки: $\frac{k\lambda_2}{d} \ge \frac{(k+1)\lambda_1}{d}$

Период решетки $d$ сокращается, и мы получаем неравенство, не зависящее от параметров решетки: $k\lambda_2 \ge (k+1)\lambda_1$

Решим это неравенство относительно $k$: $k\lambda_2 \ge k\lambda_1 + \lambda_1$ $k\lambda_2 - k\lambda_1 \ge \lambda_1$ $k(\lambda_2 - \lambda_1) \ge \lambda_1$ $k \ge \frac{\lambda_1}{\lambda_2 - \lambda_1}$

Подставим данные значения длин волн: $k \ge \frac{400 \text{ нм}}{780 \text{ нм} - 400 \text{ нм}} = \frac{400}{380} = \frac{20}{19} \approx 1.053$

Поскольку порядок спектра $k$ должен быть целым числом, наименьшее целое значение $k$, удовлетворяющее этому условию, равно 2. Таким образом, спектр 2-го порядка перекрывается со спектром 3-го порядка, спектр 3-го — со спектром 4-го, и так далее. Перекрытие происходит для всех пар соседних порядков $k$ и $k+1$, где $k \ge 2$.

Ответ: Перекрытие спектров происходит для всех порядков $k \ge 2$, то есть спектр 2-го порядка накладывается на 3-й, 3-й на 4-й и т.д.

Зависит ли ответ от ширины щели?
Как было показано выше, условие перекрытия спектров $k \ge \frac{\lambda_1}{\lambda_2 - \lambda_1}$ зависит только от длин волн на границах видимого спектра и не зависит от параметров дифракционной решетки, таких как её период $d$ или ширина щели $a$.

Следует отметить, что ширина щели $a$ влияет на распределение интенсивности света в дифракционной картине. В частности, она определяет положение дифракционных минимумов от одиночной щели (условие $a \sin\theta = m\lambda$, где $m = \pm 1, \pm 2, ...$). Если какой-либо главный максимум решетки совпадает по положению с одним из этих минимумов, его интенсивность становится равной нулю (явление "исчезающих порядков"). Однако это не отменяет факта геометрического перекрытия областей, в которых должны были бы наблюдаться спектры разных порядков.

Ответ: Нет, ответ не зависит от ширины щели.