Номер 3, страница 109 - гдз по физике 11 класс учебник Жилко, Маркович

3. Сколько штрихов $N$ на 1 см должна иметь дифракционная решетка, если спектр второго порядка отсутствует в видимой области?

Дано:

Порядок спектра, который должен отсутствовать: $k=2$
Видимая область спектра (примем диапазон длин волн от фиолетового до красного): $\lambda_{min} \approx 400 \text{ нм}$, $\lambda_{max} \approx 760 \text{ нм}$

$\lambda_{min} = 400 \text{ нм} = 400 \times 10^{-9} \text{ м} = 4 \times 10^{-7} \text{ м}$

Найти:

Число штрихов на 1 см: $N$

Решение:

Условие наблюдения дифракционных максимумов для решетки описывается формулой: $$ d \sin\phi = k \lambda $$ где $d$ — период дифракционной решетки (расстояние между соседними штрихами), $\phi$ — угол дифракции, под которым наблюдается максимум, $k$ — порядок спектра ($k = 0, 1, 2, \dots$), а $\lambda$ — длина волны падающего света.

Период решетки $d$ связан с числом штрихов $N$ на единицу длины (в данном случае на 1 см) соотношением $d = 1/N$.

Для того чтобы дифракционный максимум мог наблюдаться, синус угла дифракции не должен превышать 1, так как максимальное значение $\sin\phi = 1$ (соответствует $\phi = 90^\circ$). Таким образом, для существования спектра $k$-го порядка должно выполняться условие: $$ \sin\phi = \frac{k \lambda}{d} \le 1 $$

В задаче сказано, что спектр второго порядка ($k=2$) отсутствует в видимой области. Это означает, что условие наблюдения максимума не выполняется для любой длины волны из видимого диапазона. Если это условие не выполняется для самой короткой длины волны ($\lambda_{min}$), то оно тем более не будет выполняться для всех больших длин волн.

Следовательно, для минимальной длины волны видимого света ($\lambda_{min}$) и порядка $k=2$ должно выполняться неравенство: $$ \sin\phi = \frac{2 \lambda_{min}}{d} > 1 $$

Из этого неравенства мы можем выразить условие для периода решетки $d$: $$ d < 2 \lambda_{min} $$

Подставим значение $\lambda_{min} = 400 \text{ нм}$. Для удобства расчетов переведем эту величину в сантиметры: $ \lambda_{min} = 400 \text{ нм} = 400 \times 10^{-9} \text{ м} = 4 \times 10^{-7} \text{ м} = 4 \times 10^{-5} \text{ см} $.

Теперь найдем предельное значение для периода решетки: $$ d < 2 \times (4 \times 10^{-5} \text{ см}) $$ $$ d < 8 \times 10^{-5} \text{ см} $$

Поскольку число штрихов на 1 см $N = 1/d$, мы можем найти соответствующее условие для $N$. При переходе от $d$ к $N$ знак неравенства изменится на противоположный: $$ \frac{1}{N} < 8 \times 10^{-5} \text{ см} $$ $$ N > \frac{1}{8 \times 10^{-5}} \text{ штрихов/см} $$ $$ N > \frac{100000}{8} \text{ штрихов/см} $$ $$ N > 12500 \text{ штрихов/см} $$

Таким образом, чтобы спектр второго порядка полностью отсутствовал в видимой области, дифракционная решетка должна иметь более 12500 штрихов на 1 сантиметр.

Ответ: Дифракционная решетка должна иметь более 12500 штрихов на 1 см.