Номер 3, страница 113 - гдз по физике 11 класс учебник Жилко, Маркович

3. Как следует расположить точечный источник света, плоский предмет и экран, чтобы контур тени на экране был геометрически подобен контуру предмета?

Для того чтобы контур тени на экране был геометрически подобен контуру плоского предмета, необходимо выполнить определенное условие взаимного расположения источника света, предмета и экрана.

Рассмотрим процесс образования тени. Точечный источник света $S$ испускает лучи, распространяющиеся по прямым линиям. Плоский предмет, расположенный на пути этих лучей, отбрасывает тень на экран. Контур тени образуется теми лучами, которые исходят из источника $S$ и касаются краев (контура) предмета. Каждый такой луч, проходя через точку $A$ на контуре предмета, попадает в точку $A'$ на экране, формируя контур тени. Таким образом, фигура тени $F'$ на экране является результатом центральной проекции фигуры предмета $F$ из центра проекции $S$ (источника света) на плоскость экрана.

Геометрическое подобие двух фигур означает, что одна фигура может быть получена из другой путем равномерного растяжения или сжатия относительно некоторого центра (такое преобразование называется гомотетией), а также поворотов и сдвигов. В нашем случае, чтобы проекция была подобна оригиналу, преобразование центральной проекции должно быть гомотетией.

Центральная проекция является гомотетией (и, следовательно, преобразованием подобия) тогда и только тогда, когда плоскость, в которой лежит предмет, параллельна плоскости экрана.

Докажем это. Пусть плоскость предмета $P_{предм}$ параллельна плоскости экрана $P_{экр}$. Пусть $d$ – перпендикулярное расстояние от источника света $S$ до плоскости предмета, а $L$ – перпендикулярное расстояние от источника света $S$ до плоскости экрана. Рассмотрим любой отрезок $AB$ на предмете. Его проекцией на экран будет отрезок $A'B'$. Лучи $SA$ и $SB$ образуют с отрезком $AB$ треугольник $\triangle SAB$. Эти же лучи образуют с отрезком $A'B'$ на экране треугольник $\triangle SA'B'$.

Поскольку плоскость предмета $P_{предм}$ параллельна плоскости экрана $P_{экр}$, то прямая $AB$, лежащая в плоскости предмета, будет параллельна своей проекции $A'B'$, лежащей в плоскости экрана. Следовательно, треугольники $\triangle SAB$ и $\triangle SA'B'$ подобны по двум углам (угол при вершине $S$ общий, а углы, например, $\angle SAB$ и $\angle SA'B'$ равны как соответственные при параллельных прямых $AB$ и $A'B'$ и секущей $SA'$).

Из подобия треугольников следует пропорциональность их сторон и высот: $ \frac{A'B'}{AB} = \frac{L}{d} $

Отношение $k = \frac{L}{d}$ называется коэффициентом подобия или коэффициентом увеличения. Так как расстояния $L$ и $d$ являются постоянными для данной установки (не зависят от выбора точек на предмете), коэффициент $k$ будет одинаковым для любого отрезка на предмете. Это означает, что все линейные размеры тени будут в $k$ раз больше соответствующих размеров предмета, а углы сохранятся. Следовательно, контур тени будет геометрически подобен контуру предмета.

Если же плоскость предмета не будет параллельна плоскости экрана, то коэффициент увеличения будет разным для разных частей предмета (зависеть от удаленности точки предмета от источника), что приведет к искажению формы тени. Например, тень от квадрата может стать трапецией или произвольным четырехугольником. В этом случае о геометрическом подобии говорить нельзя.

Ответ: Точечный источник света, плоский предмет и экран следует расположить так, чтобы плоскость, в которой лежит предмет, была параллельна плоскости экрана. При этом предмет должен находиться между источником света и экраном, а источник света не должен лежать в плоскости предмета.