Номер 2, страница 109 - гдз по физике 11 класс учебник Жилко, Маркович

2. Рассчитайте число штрихов $N$ на миллиметр дифракционной решетки, если измеренный угол $\theta = 46^\circ 43'$ и красная линия спектра кадмия первого порядка имеет длину волны $\lambda = 644$ нм. Сделайте аналогичные вычисления, если под этим углом видна линия второго порядка.

Дано:

Угол дифракции, $\theta = 46°43'$

Длина волны, $\lambda = 644 \text{ нм}$

Порядок спектра (случай 1), $k_1 = 1$

Порядок спектра (случай 2), $k_2 = 2$

Перевод данных в систему СИ и в удобный для расчетов вид:

Угол $\theta = 46 + \frac{43}{60} \text{ градуса} \approx 46.7167°$

Длина волны $\lambda = 644 \cdot 10^{-9} \text{ м}$

Найти:

$N_1$ — число штрихов на миллиметр для линии первого порядка.

$N_2$ — число штрихов на миллиметр для линии второго порядка.

Решение:

Основная формула дифракционной решетки, связывающая ее параметры со свойствами падающего света, выглядит так:

$d \sin\theta = k\lambda$

где $d$ — период дифракционной решетки, $\theta$ — угол, под которым наблюдается максимум интенсивности, $k$ — порядок этого максимума (целое число), $\lambda$ — длина волны света.

Число штрихов на миллиметр $N$ обратно пропорционально периоду решетки $d$, выраженному в миллиметрах:

$N = \frac{1}{d_{\text{мм}}}$

Из основной формулы выразим период решетки:

$d = \frac{k\lambda}{\sin\theta}$

Предварительно рассчитаем значение синуса угла: $\sin(46.7167°) \approx 0.72798$.

Расчет для красной линии спектра кадмия первого порядка

Для этого случая порядок максимума $k_1 = 1$.

Найдем период решетки $d_1$ в метрах:

$d_1 = \frac{k_1 \lambda}{\sin\theta} = \frac{1 \cdot 644 \cdot 10^{-9} \text{ м}}{0.72798} \approx 8.8464 \cdot 10^{-7} \text{ м}$

Теперь переведем период в миллиметры:

$d_{1, \text{мм}} = 8.8464 \cdot 10^{-7} \text{ м} \cdot 1000 \frac{\text{мм}}{\text{м}} = 8.8464 \cdot 10^{-4} \text{ мм}$

Рассчитаем число штрихов на миллиметр $N_1$:

$N_1 = \frac{1}{d_{1, \text{мм}}} = \frac{1}{8.8464 \cdot 10^{-4} \text{ мм}} \approx 1130.4 \text{ штр/мм}$

Округляя результат до целого числа, получаем:

Ответ: $N_1 \approx 1130$ штрихов/мм.

Вычисления для линии второго порядка

Для этого случая порядок максимума $k_2 = 2$.

Найдем период решетки $d_2$ в метрах:

$d_2 = \frac{k_2 \lambda}{\sin\theta} = \frac{2 \cdot 644 \cdot 10^{-9} \text{ м}}{0.72798} \approx 1.7693 \cdot 10^{-6} \text{ м}$

Переведем период в миллиметры:

$d_{2, \text{мм}} = 1.7693 \cdot 10^{-6} \text{ м} \cdot 1000 \frac{\text{мм}}{\text{м}} = 1.7693 \cdot 10^{-3} \text{ мм}$

Рассчитаем число штрихов на миллиметр $N_2$:

$N_2 = \frac{1}{d_{2, \text{мм}}} = \frac{1}{1.7693 \cdot 10^{-3} \text{ мм}} \approx 565.2 \text{ штр/мм}$

Округляя результат до целого числа, получаем:

Ответ: $N_2 \approx 565$ штрихов/мм.