Номер 4, страница 176 - гдз по физике 11 класс учебник Жилко, Маркович

4. Определите длину волны $\lambda$ ультрафиолетового излучения, падающего на поверхность цинка, при которой модуль максимальной скорости вылетающих фотоэлектронов составляет $v_{\text{max}} = 800 \frac{\text{км}}{\text{с}}$.

Дано:

Материал - цинк (Zn)
Максимальная скорость фотоэлектронов $v_{max} = 800 \frac{\text{км}}{\text{с}}$
Работа выхода для цинка (табличное значение) $A_{вых} = 4.3$ эВ
Постоянная Планка $h \approx 6.63 \times 10^{-34}$ Дж·с
Масса электрона $m_e \approx 9.1 \times 10^{-31}$ кг
Скорость света в вакууме $c \approx 3 \times 10^8$ м/с
Элементарный заряд $e \approx 1.6 \times 10^{-19}$ Кл

Перевод в систему СИ:

$v_{max} = 800 \frac{\text{км}}{\text{с}} = 800 \times 10^3 \frac{\text{м}}{\text{с}} = 8 \times 10^5$ м/с
$A_{вых} = 4.3 \text{ эВ} = 4.3 \times 1.6 \times 10^{-19} \text{ Дж} = 6.88 \times 10^{-19}$ Дж

Найти:

Длину волны ультрафиолетового излучения $\lambda$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся уравнением Эйнштейна для фотоэффекта:

$E_ф = A_{вых} + E_{k,max}$

где $E_ф$ — энергия падающего фотона, $A_{вых}$ — работа выхода электрона из металла, $E_{k,max}$ — максимальная кинетическая энергия вылетевшего фотоэлектрона.

Энергия падающего фотона связана с длиной волны $\lambda$ соотношением:

$E_ф = \frac{hc}{\lambda}$

Максимальная кинетическая энергия фотоэлектрона определяется его массой $m_e$ и максимальной скоростью $v_{max}$:

$E_{k,max} = \frac{m_e v_{max}^2}{2}$

Подставим выражения для энергии фотона и кинетической энергии в уравнение Эйнштейна:

$\frac{hc}{\lambda} = A_{вых} + \frac{m_e v_{max}^2}{2}$

Выразим из этого уравнения искомую длину волны $\lambda$:

$\lambda = \frac{hc}{A_{вых} + \frac{m_e v_{max}^2}{2}}$

Сначала рассчитаем максимальную кинетическую энергию фотоэлектронов:

$E_{k,max} = \frac{(9.1 \times 10^{-31} \text{ кг}) \cdot (8 \times 10^5 \text{ м/с})^2}{2} = \frac{9.1 \times 10^{-31} \cdot 64 \times 10^{10}}{2} \text{ Дж} = \frac{582.4 \times 10^{-21}}{2} \text{ Дж} \approx 2.91 \times 10^{-19}$ Дж

Теперь подставим все известные значения в формулу для длины волны:

$\lambda = \frac{(6.63 \times 10^{-34} \text{ Дж·с}) \cdot (3 \times 10^8 \text{ м/с})}{6.88 \times 10^{-19} \text{ Дж} + 2.91 \times 10^{-19} \text{ Дж}}$

$\lambda = \frac{19.89 \times 10^{-26}}{9.79 \times 10^{-19}} \text{ м} \approx 2.03 \times 10^{-7}$ м

Переведем метры в нанометры ($1 \text{ нм} = 10^{-9} \text{ м}$):

$\lambda \approx 2.03 \times 10^{-7} \text{ м} = 203 \times 10^{-9} \text{ м} = 203$ нм

Ответ: длина волны ультрафиолетового излучения составляет приблизительно $203$ нм.