Номер 5, страница 195 - гдз по физике 11 класс учебник Жилко, Маркович

5. Определите минимальную энергию, которую необходимо сообщить электрону, находящемуся в основном состоянии в атоме водорода, чтобы его спектр излучения содержал только три спектральные линии.

Дано:

Атом водорода
Начальное состояние электрона (основное): $n_1 = 1$
Количество линий в спектре излучения: $N = 3$
Энергия ионизации атома водорода: $E_0 = 13.6 \text{ эВ}$

Перевод в СИ:
$E_0 = 13.6 \text{ эВ} \cdot 1.602 \cdot 10^{-19} \frac{\text{Дж}}{\text{эВ}} \approx 2.18 \cdot 10^{-18} \text{ Дж}$

Найти:

Минимальная энергия возбуждения $\Delta E$.

Решение:

Когда электрон в атоме, возбужденный до энергетического уровня с главным квантовым числом $n$, возвращается в состояния с меньшей энергией, он испускает фотоны. Максимальное число различных фотонов (спектральных линий), которое может при этом образоваться, определяется числом возможных переходов между $n$ уровнями и вычисляется по формуле: $N = \frac{n(n-1)}{2}$

Согласно условию задачи, в спектре излучения должно быть ровно три линии, то есть $N=3$. Подставим это значение в формулу, чтобы найти, на какой энергетический уровень $n$ должен быть возбужден электрон: $3 = \frac{n(n-1)}{2}$ $6 = n(n-1)$ $n^2 - n - 6 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Его корни можно найти, например, по теореме Виета или через дискриминант. Корнями являются $n_a=3$ и $n_b=-2$. Так как главное квантовое число $n$ по своему физическому смыслу является целым положительным числом, то единственным подходящим решением является $n=3$. Следовательно, для получения трех спектральных линий, электрон необходимо перевести из основного состояния ($n_1=1$) на второй возбужденный уровень ($n_2=3$).

Энергия электрона на $k$-ой орбите в атоме водорода описывается формулой Бора: $E_k = -\frac{E_0}{k^2}$ где $E_0 \approx 13.6 \text{ эВ}$ — это энергия ионизации водорода (или постоянная Ридберга в энергетических единицах).

Энергия электрона в основном состоянии ($n_1=1$): $E_1 = -\frac{E_0}{1^2} = -E_0 = -13.6 \text{ эВ}$

Энергия электрона в возбужденном состоянии ($n_2=3$): $E_3 = -\frac{E_0}{3^2} = -\frac{E_0}{9} = -\frac{13.6 \text{ эВ}}{9} \approx -1.51 \text{ эВ}$

Минимальная энергия $\Delta E$, которую нужно сообщить электрону для такого перехода, равна разности энергий конечного и начального состояний: $\Delta E = E_3 - E_1 = (-\frac{E_0}{9}) - (-E_0) = E_0 \cdot (1 - \frac{1}{9}) = \frac{8}{9}E_0$

Теперь вычислим числовое значение этой энергии в электрон-вольтах: $\Delta E = \frac{8}{9} \cdot 13.6 \text{ эВ} \approx 12.09 \text{ эВ}$ Округлим до трех значащих цифр, как и в исходных данных: $\Delta E \approx 12.1 \text{ эВ}$.

Также выразим эту энергию в системе СИ (джоулях), используя значение $E_0$ в джоулях: $\Delta E = \frac{8}{9} \cdot 2.18 \cdot 10^{-18} \text{ Дж} \approx 1.94 \cdot 10^{-18} \text{ Дж}$

Ответ: минимальная энергия, которую необходимо сообщить электрону, составляет приблизительно $12.1 \text{ эВ}$ (или $1.94 \cdot 10^{-18} \text{ Дж}$).