Номер 5, страница 58 - гдз по физике 11 класс учебник Жилко, Маркович

5. Определите напряжение $U$ на конденсаторе емкостью $C$ в момент времени: а) $t_1 = \frac{T}{8}$; б) $t_2 = \frac{5T}{8}$, если в начальный момент времени $t_0 = 0$ напряжение на конденсаторе равно $U_0 = 48$ В, а сила тока в катушке $I_0 = 0$, $T$ — период колебаний в контуре.

Дано:
Начальный момент времени $t_0 = 0$
Начальное напряжение на конденсаторе $U_0 = 48 \text{ В}$
Начальная сила тока в катушке $I_0 = 0 \text{ А}$
Период колебаний $T$
Момент времени $t_1 = \frac{T}{8}$
Момент времени $t_2 = \frac{5T}{8}$

Найти:
Напряжение $U_1$ в момент времени $t_1$
Напряжение $U_2$ в момент времени $t_2$

Решение

Колебания напряжения на конденсаторе в идеальном колебательном контуре (LC-контуре) описываются гармоническим законом. Общая формула для напряжения имеет вид: $U(t) = U_m \cos(\omega t + \phi_0)$ где $U_m$ — амплитуда (максимальное значение) напряжения, $\omega$ — циклическая частота, $t$ — время, $\phi_0$ — начальная фаза колебаний.

Из начальных условий задачи, в момент времени $t_0 = 0$ сила тока в контуре $I_0 = 0$. Это означает, что вся энергия контура сосредоточена в электрическом поле конденсатора, и напряжение на нем в этот момент максимально. Следовательно, амплитуда напряжения $U_m$ равна начальному напряжению $U_0$. $U_m = U_0 = 48 \text{ В}$

Поскольку в начальный момент времени $t_0 = 0$ напряжение максимально и положительно ($U(0) = U_m$), это соответствует косинусоидальному закону с нулевой начальной фазой. Подставим $t=0$ в общую формулу: $U(0) = U_m \cos(\omega \cdot 0 + \phi_0) = U_m \cos(\phi_0)$ Так как $U(0) = U_m$, то $\cos(\phi_0) = 1$, откуда начальная фаза $\phi_0 = 0$.

Таким образом, зависимость напряжения на конденсаторе от времени для данного контура имеет вид: $U(t) = U_0 \cos(\omega t)$ Циклическая частота $\omega$ связана с периодом колебаний $T$ соотношением $\omega = \frac{2\pi}{T}$. Подставим это в уравнение для напряжения: $U(t) = U_0 \cos\left(\frac{2\pi}{T} t\right)$

а) Найдем напряжение на конденсаторе в момент времени $t_1 = \frac{T}{8}$. Подставим это значение в полученную формулу: $U_1 = U(t_1) = U_0 \cos\left(\frac{2\pi}{T} \cdot \frac{T}{8}\right) = U_0 \cos\left(\frac{2\pi}{8}\right) = U_0 \cos\left(\frac{\pi}{4}\right)$ Значение косинуса $\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Подставим числовые значения: $U_1 = 48 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 24\sqrt{2} \text{ В}$

Приблизительное значение: $U_1 \approx 24 \cdot 1.414 = 33.936 \text{ В}$.

Ответ: $U_1 = 24\sqrt{2} \text{ В}$.

б) Найдем напряжение на конденсаторе в момент времени $t_2 = \frac{5T}{8}$. Подставим это значение в формулу: $U_2 = U(t_2) = U_0 \cos\left(\frac{2\pi}{T} \cdot \frac{5T}{8}\right) = U_0 \cos\left(\frac{10\pi}{8}\right) = U_0 \cos\left(\frac{5\pi}{4}\right)$ Значение косинуса $\cos\left(\frac{5\pi}{4}\right) = \cos\left(\pi + \frac{\pi}{4}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Подставим числовые значения: $U_2 = 48 \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -24\sqrt{2} \text{ В}$

Приблизительное значение: $U_2 \approx -24 \cdot 1.414 = -33.936 \text{ В}$.

Ответ: $U_2 = -24\sqrt{2} \text{ В}$.