Номер 7, страница 57 - гдз по физике 11 класс учебник Жилко, Маркович

7. Как распределена запасенная в идеальном колебательном контуре энергия между электрическим полем конденсатора и магнитным полем катушки в идеальном колебательном контуре в моменты времени $\frac{T}{4}$; $\frac{T}{2}$; $\frac{3T}{4}$; $T$ после начала разрядки конденсатора?

Решение

В идеальном колебательном контуре, состоящем из конденсатора емкостью $C$ и катушки индуктивностью $L$, полная электромагнитная энергия сохраняется. Эта энергия периодически переходит из энергии электрического поля конденсатора в энергию магнитного поля катушки и обратно.

Полная энергия контура $W$ является суммой энергии электрического поля $W_E$ и энергии магнитного поля $W_M$: $W = W_E + W_M = \text{const}$

Энергия электрического поля конденсатора определяется его зарядом $q$: $W_E = \frac{q^2}{2C}$.

Энергия магнитного поля катушки определяется силой тока $I$ в ней: $W_M = \frac{LI^2}{2}$.

Условие "после начала разрядки конденсатора" означает, что в начальный момент времени $t=0$ конденсатор был полностью заряжен до максимального заряда $q_m$, а ток в цепи отсутствовал ($I=0$). В этот момент вся энергия контура была сосредоточена в электрическом поле конденсатора: $W = W_{E,max} = \frac{q_m^2}{2C}$. В дальнейшем заряд и ток меняются по гармоническому закону: $q(t) = q_m \cos(\omega t)$ и $I(t) = I_m \sin(\omega t)$, где $\omega = 2\pi/T$ - циклическая частота колебаний, а $T$ - их период.

Рассмотрим распределение энергии в заданные моменты времени.

В момент времени $t = \frac{T}{4}$

К этому моменту фаза колебаний составляет $\omega t = \frac{2\pi}{T} \cdot \frac{T}{4} = \frac{\pi}{2}$. Заряд на конденсаторе становится равным $q = q_m \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$. Конденсатор полностью разряжен. Сила тока достигает своего максимального (амплитудного) значения $I_m$. Следовательно, энергия электрического поля равна нулю, а энергия магнитного поля максимальна. $W_E = 0$ $W_M = W_{max}$

Ответ: Вся запасенная энергия сосредоточена в магнитном поле катушки. Энергия электрического поля конденсатора равна нулю.

В момент времени $t = \frac{T}{2}$

Фаза колебаний равна $\omega t = \frac{2\pi}{T} \cdot \frac{T}{2} = \pi$. Заряд на конденсаторе достигает максимального значения по модулю, но с противоположным знаком: $q = q_m \cos(\pi) = -q_m$. Конденсатор полностью перезарядился. Сила тока в этот момент равна нулю. Вся энергия снова сосредоточена в электрическом поле. $W_E = W_{max}$ $W_M = 0$

Ответ: Вся запасенная энергия сосредоточена в электрическом поле конденсатора. Энергия магнитного поля катушки равна нулю.

В момент времени $t = \frac{3T}{4}$

Фаза колебаний равна $\omega t = \frac{2\pi}{T} \cdot \frac{3T}{4} = \frac{3\pi}{2}$. Заряд на конденсаторе снова становится равным нулю: $q = q_m \cos(\frac{3\pi}{2}) = 0$. Конденсатор опять полностью разряжен. Сила тока достигает максимального значения $I_m$ (направление тока противоположно тому, что было в момент $t = T/4$). Энергия магнитного поля максимальна, а электрического — равна нулю. $W_E = 0$ $W_M = W_{max}$

Ответ: Вся запасенная энергия сосредоточена в магнитном поле катушки. Энергия электрического поля конденсатора равна нулю.

В момент времени $t = T$

Прошел один полный период колебаний. Фаза колебаний равна $\omega t = \frac{2\pi}{T} \cdot T = 2\pi$. Система возвращается в исходное состояние. Заряд на конденсаторе максимален и равен начальному: $q = q_m \cos(2\pi) = q_m$. Сила тока равна нулю. Вся энергия опять сосредоточена в электрическом поле конденсатора. $W_E = W_{max}$ $W_M = 0$

Ответ: Вся запасенная энергия сосредоточена в электрическом поле конденсатора. Энергия магнитного поля катушки равна нулю.