Номер 4, страница 57 - гдз по физике 11 класс учебник Жилко, Маркович

4. По какому закону изменяются зависимости заряда конденсатора и силы тока в катушке идеального колебательного контура с течением времени?

В идеальном колебательном контуре, который состоит из катушки индуктивности $L$ и конденсатора ёмкости $C$, предполагается отсутствие активного сопротивления ($R=0$), а значит, и потерь энергии. В такой системе возникают незатухающие свободные электромагнитные колебания. Зависимости заряда конденсатора и силы тока в катушке от времени описываются гармоническими законами.

Зависимость заряда конденсатора

Изменение заряда $q$ на обкладках конденсатора со временем описывается дифференциальным уравнением $q'' + \frac{1}{LC}q = 0$. Решением этого уравнения является гармоническая функция. Как правило, для описания колебаний заряда используется закон косинуса, так как часто рассматривается случай, когда в начальный момент времени конденсатор максимально заряжен. Закон изменения заряда имеет вид:

$q(t) = q_m \cos(\omega_0 t + \phi_0)$

где:
$q(t)$ – мгновенное значение заряда в момент времени $t$;
$q_m$ – амплитуда колебаний заряда, то есть его максимальное значение;
$\omega_0$ – циклическая (круговая) частота свободных колебаний, которая зависит только от параметров контура и рассчитывается по формуле Томсона: $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$;
$(\omega_0 t + \phi_0)$ – фаза колебаний в момент времени $t$;
$\phi_0$ – начальная фаза, значение которой зависит от выбора начального момента времени (от состояния системы при $t=0$). Если при $t=0$ заряд конденсатора максимален ($q = q_m$), то начальная фаза $\phi_0 = 0$.

Ответ: Заряд конденсатора в идеальном колебательном контуре изменяется с течением времени по гармоническому закону (закону синуса или косинуса).

Зависимость силы тока в катушке

Сила тока $i$ по определению является скоростью изменения заряда, то есть первой производной от заряда по времени: $i(t) = q'(t)$. Взяв производную от выражения для заряда, получаем закон изменения силы тока:

$i(t) = \frac{d}{dt}(q_m \cos(\omega_0 t + \phi_0)) = -q_m \omega_0 \sin(\omega_0 t + \phi_0)$

Это уравнение также описывает гармонические колебания. Максимальное значение силы тока (амплитуда тока) равно $I_m = q_m \omega_0$. Используя это и тригонометрическое тождество $-\sin(\alpha) = \cos(\alpha + \frac{\pi}{2})$, можно переписать закон изменения тока в виде:

$i(t) = I_m \cos(\omega_0 t + \phi_0 + \frac{\pi}{2})$

Сравнивая выражения для заряда и тока, можно увидеть, что колебания силы тока также являются гармоническими, но они опережают по фазе колебания заряда на $\frac{\pi}{2}$ (или 90°). Это значит, что в моменты, когда заряд конденсатора достигает максимума, сила тока в контуре равна нулю, и наоборот, когда конденсатор полностью разряжен, сила тока достигает своего амплитудного значения.

Ответ: Сила тока в катушке идеального колебательного контура изменяется с течением времени по гармоническому закону, при этом колебания тока опережают по фазе колебания заряда конденсатора на $\frac{\pi}{2}$.