Номер 749, страница 219 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

749. Постройте четырехугольник по трем его:

а) сторонам и радиусу описанной окружности;

б) двум противоположащим сторонам, углу и радиусу описанной окружности;

в) двум смежным сторонам, углу, прилежащему к одной из них, и радиусу описанной окружности;

г) двум соседним углам, стороне, прилежащей к одному из них, и радиусу описанной окружности;

д) двум противоположным сторонам, диагонали и радиусу описанной окружности;

е) двум диагоналям, стороне и радиусу описанной окружности;

ж) двум смежным сторонам, углу, прилежащему к одной из них, и радиусу вписанной окружности;

з) двум противоположным углам, стороне и радиусу вписанной окружности;

и) трем углам и радиусу вписанной окружности.

а) сторонам и радиусу описанной окружности;

Будем считать, что заданы три последовательные стороны четырехугольника $a, b, c$ и радиус $R$ описанной окружности. Пусть искомый четырехугольник — $ABCD$, где $AB=a, BC=b, CD=c$. Все его вершины лежат на окружности $\omega$ радиуса $R$.

Анализ: Описанная окружность $\omega$ имеет центр $O$ и радиус $R$. Вершины $A, B, C, D$ лежат на этой окружности. Стороны четырехугольника являются хордами этой окружности. Длину хорды можно связать с центральным углом, который на нее опирается. Например, для стороны $AB=a$ центральный угол $\angle AOB$ равен $2\arcsin(a/2R)$. Аналогично для других сторон.

Построение:

1. Строим окружность $\omega$ с центром в произвольной точке $O$ и радиусом $R$.
2. Выбираем на окружности произвольную точку $A$.
3. Строим точку $B$ на окружности $\omega$ так, чтобы хорда $AB$ имела длину $a$. Для этого проводим окружность с центром в точке $A$ и радиусом $a$. Точка пересечения этой окружности с $\omega$ будет вершиной $B$. (Обычно существует два таких пересечения, выберем любое).
4. Аналогично строим точку $C$ на окружности $\omega$ так, чтобы $BC=b$. Проводим окружность с центром в $B$ и радиусом $b$. Точка пересечения (отличная от $A$) будет вершиной $C$.
5. Аналогично строим точку $D$ на окружности $\omega$ так, чтобы $CD=c$. Проводим окружность с центром в $C$ и радиусом $c$. Точка пересечения (отличная от $B$) будет вершиной $D$.
6. Соединяем последовательно точки $A, B, C, D$. Полученный четырехугольник $ABCD$ является искомым.

Доказательство: По построению все вершины $A, B, C, D$ лежат на окружности радиуса $R$. Длины сторон $AB, BC, CD$ равны заданным $a, b, c$. Следовательно, четырехугольник $ABCD$ удовлетворяет условиям задачи.

Исследование: Построение возможно, если длины заданных сторон не превышают диаметр окружности, т.е. $a \le 2R, b \le 2R, c \le 2R$. Задача может иметь несколько решений в зависимости от выбора точек пересечения на каждом шаге.

Ответ: задача решена.

б) двум противолежащим сторонам, углу и радиусу описанной окружности;

Пусть заданы две противолежащие стороны $a$ и $c$, угол $\alpha$ и радиус $R$ описанной окружности. Пусть искомый четырехугольник — $ABCD$, вписанный в окружность $\omega$ радиуса $R$. Пусть $AB=a, CD=c$ и, например, $\angle A = \alpha$.

Анализ: Вершины четырехугольника лежат на окружности $\omega$. Вписанный угол равен половине угловой меры дуги, на которую он опирается. Угол $\angle A = \alpha$ опирается на дугу $BCD$. Длина хорды, стягивающей эту дугу, то есть диагонали $BD$, может быть найдена по формуле: $d_2 = BD = 2R \sin(\angle A) = 2R \sin(\alpha)$. Таким образом, задача сводится к построению четырехугольника по двум сторонам $AB=a, AD$ (неизвестна), диагонали $BD$ и радиусу $R$.

Построение:

1. Строим окружность $\omega$ с центром $O$ и радиусом $R$.
2. Выбираем на окружности произвольную точку $A$.
3. Строим точку $B$ на окружности $\omega$ так, чтобы хорда $AB$ имела длину $a$.
4. Строим отрезок длиной $d_2 = 2R \sin(\alpha)$. Для этого можно построить прямоугольный треугольник с гипотенузой $2R$ и углом $\alpha$, противолежащий катет будет иметь искомую длину.
5. Строим точку $D$ на окружности $\omega$ так, чтобы хорда $BD$ имела длину $d_2$. Для этого проводим окружность с центром в $B$ и радиусом $d_2$. Точка пересечения с $\omega$ будет вершиной $D$. (Нужно выбрать ту точку $D$, чтобы угол $\angle BAD$ был равен $\alpha$, а не $180^\circ-\alpha$).
6. Строим точку $C$ на окружности $\omega$ так, чтобы хорда $CD$ имела длину $c$. Проводим окружность с центром в $D$ и радиусом $c$. Точка пересечения с $\omega$ (отличная от возможной точки $B$) будет вершиной $C$.
7. Соединяем точки $A, B, C, D$. Четырехугольник $ABCD$ — искомый.

Доказательство: Вершины $A, B, C, D$ лежат на окружности радиуса $R$. Стороны $AB$ и $CD$ имеют заданные длины $a$ и $c$ по построению. Диагональ $BD$ имеет длину $2R \sin(\alpha)$, следовательно, вписанный угол $\angle BAD$, опирающийся на дугу $BCD$, равен $\alpha$. Все условия выполнены.

Исследование: Построение возможно, если $a \le 2R, c \le 2R$. Если заданный угол — один из углов при вершинах данных сторон (например, $\angle B$ или $\angle D$), то построение аналогично, только вычисляется и строится другая диагональ ($AC$).

Ответ: задача решена.

в) двум смежным сторонам, углу, прилежащему к одной из них, и радиусу описанной окружности;

Пусть заданы смежные стороны $a, b$, угол $\alpha$, прилежащий к стороне $a$, и радиус $R$ описанной окружности. Пусть четырехугольник $ABCD$, $AB=a, BC=b$ и $\angle A = \alpha$.

Анализ: Все вершины лежат на окружности $\omega$ радиуса $R$. Зная угол $\angle A = \alpha$, мы можем найти длину диагонали $BD$: $d_2 = BD = 2R \sin(\alpha)$. Таким образом, задача сводится к построению треугольника $ABD$ по двум сторонам $AB=a$, $BD=d_2$ и описанной окружности, а затем нахождению вершины $C$.

Построение:

1. Строим окружность $\omega$ с центром $O$ и радиусом $R$.
2. Выбираем на окружности произвольную точку $A$.
3. Строим точку $B$ на окружности $\omega$ так, чтобы $AB=a$.
4. Вычисляем и строим длину диагонали $d_2 = 2R \sin(\alpha)$.
5. Строим точку $D$ на окружности $\omega$ так, чтобы $BD=d_2$. Для этого проводим окружность с центром в $B$ и радиусом $d_2$. Точка пересечения с $\omega$ будет вершиной $D$.
6. Теперь у нас есть вершины $A, B, D$. Нужно найти $C$. Точка $C$ лежит на окружности $\omega$ и на расстоянии $b$ от точки $B$.
7. Проводим окружность с центром в $B$ и радиусом $b$. Точка пересечения с $\omega$ (отличная от $A$) будет вершиной $C$.
8. Соединяем точки $A, B, C, D$. Полученный четырехугольник — искомый.

Доказательство: По построению все вершины лежат на окружности $\omega$. $AB=a, BC=b$. Угол $\angle A$ опирается на дугу $BCD$, стягиваемую хордой $BD$. Так как $BD=2R \sin(\alpha)$, то $\angle A = \alpha$. Четырехугольник удовлетворяет всем условиям.

Исследование: Построение возможно, если $a \le 2R, b \le 2R$. Выбор точек пересечения на шагах 3, 5, 7 может привести к разным (но корректным) решениям.

Ответ: задача решена.

г) двум соседним углам, стороне, прилежащей к одному из них, и радиусу описанной окружности;

Пусть заданы два соседних угла $\angle A = \alpha, \angle B = \beta$, сторона $a$ и радиус $R$ описанной окружности. Так как четырехугольник вписанный, то суммы противоположных углов равны $180^\circ$. Следовательно, $\angle C = 180^\circ - \alpha$, $\angle D = 180^\circ - \beta$. Таким образом, нам известны все углы четырехугольника. Сторона $a$ может быть прилежащей к обоим углам ($AB=a$), либо к одному из них ($BC=a$ или $AD=a$). Рассмотрим случай, когда дана сторона $AB=a$.

Анализ: Нам известны все углы четырехугольника. Длины диагоналей связаны с углами и радиусом описанной окружности: $AC = 2R \sin(\angle B) = 2R \sin(\beta)$. $BD = 2R \sin(\angle A) = 2R \sin(\alpha)$. Задача сводится к построению четырехугольника по стороне и двум диагоналям на описанной окружности.

Построение:

1. Строим окружность $\omega$ с центром $O$ и радиусом $R$.
2. Выбираем на окружности произвольную точку $A$.
3. Строим точку $B$ на окружности $\omega$ так, чтобы хорда $AB$ имела длину $a$.
4. Строим отрезки, равные длинам диагоналей: $d_1 = 2R \sin(\beta)$ и $d_2 = 2R \sin(\alpha)$.
5. Из точки $A$ проводим окружность радиусом $d_1$. Ее пересечение с $\omega$ даст точку $C$.
6. Из точки $B$ проводим окружность радиусом $d_2$. Ее пересечение с $\omega$ даст точку $D$.
7. Для получения несамопересекающегося четырехугольника точки $C$ и $D$ нужно выбрать так, чтобы они следовали в порядке $A, B, C, D$ по окружности.
8. Соединяем точки $A, B, C, D$. Четырехугольник $ABCD$ — искомый.

Доказательство: Все вершины лежат на $\omega$. $AB=a$ по построению. $AC = 2R \sin(\beta)$, значит $\angle B = \beta$. $BD = 2R \sin(\alpha)$, значит $\angle A = \alpha$. Условия задачи выполнены.

Исследование: Построение возможно, если $a \le 2R$. Если дана другая сторона (например, $AD=a$), алгоритм построения аналогичен: сначала строим сторону $AD$, затем из ее концов $A$ и $D$ находим $C$ и $B$ с помощью диагоналей.

Ответ: задача решена.

д) двум противоположным сторонам, диагонали и радиусу описанной окружности;

Пусть заданы противоположные стороны $a, c$, диагональ $d_1$ и радиус $R$ описанной окружности. Пусть в четырехугольнике $ABCD$ имеем $AB=a, CD=c$ и диагональ $AC=d_1$.

Построение:

1. Строим окружность $\omega$ с центром $O$ и радиусом $R$.
2. Строим на окружности хорду $AC$ длиной $d_1$. Это возможно, если $d_1 \le 2R$.
3. Находим вершину $B$. Она лежит на окружности $\omega$ и на расстоянии $a$ от точки $A$. Строим окружность с центром в $A$ и радиусом $a$. Точка пересечения этих двух окружностей дает нам вершину $B$.
4. Находим вершину $D$. Она лежит на окружности $\omega$ и на расстоянии $c$ от точки $C$. Строим окружность с центром в $C$ и радиусом $c$. Точка пересечения этих двух окружностей дает нам вершину $D$.
5. Чтобы четырехугольник не был самопересекающимся, точки $B$ и $D$ должны лежать по разные стороны от прямой $AC$. Выбираем соответствующие точки пересечения.
6. Соединяем точки $A, B, C, D$. Четырехугольник $ABCD$ — искомый.

Доказательство: По построению все вершины лежат на окружности радиуса $R$, и длины сторон $AB, CD$ и диагонали $AC$ равны заданным величинам $a, c, d_1$.

Исследование: Построение возможно, если $a \le 2R, c \le 2R, d_1 \le 2R$. Задача может иметь несколько решений.

Ответ: задача решена.

е) двум диагоналям, стороне и радиусу описанной окружности;

Пусть заданы диагонали $d_1, d_2$, сторона $a$ и радиус $R$ описанной окружности. Пусть в четырехугольнике $ABCD$ имеем $AC=d_1, BD=d_2, AB=a$.

Анализ: Эта задача фактически сводится к одной из предыдущих. Зная диагонали и радиус, мы можем найти углы, которые на них опираются: $\sin(\angle A) = d_2 / (2R)$ $\sin(\angle B) = d_1 / (2R)$ Таким образом, задача эквивалентна построению по двум соседним углам, стороне между ними и радиусу описанной окружности (см. пункт г). Однако можно выполнить построение и напрямую.

Построение:

1. Строим окружность $\omega$ с центром $O$ и радиусом $R$.
2. Выбираем на окружности произвольную точку $A$.
3. Строим точку $B$ на $\omega$ так, чтобы хорда $AB$ имела длину $a$.
4. Строим точку $C$ на $\omega$ так, чтобы хорда $AC$ имела длину $d_1$.
5. Строим точку $D$ на $\omega$ так, чтобы хорда $BD$ имела длину $d_2$.
6. Выбираем положения точек $C$ и $D$ так, чтобы вершины шли в порядке $A, B, C, D$ по окружности.
7. Соединяем точки $A, B, C, D$. Четырехугольник $ABCD$ — искомый.

Доказательство: По построению все вершины лежат на окружности $\omega$, а длины стороны $AB$ и диагоналей $AC, BD$ равны заданным.

Исследование: Построение возможно, если $a \le 2R, d_1 \le 2R, d_2 \le 2R$.

Ответ: задача решена.

ж) двум смежным сторонам, углу, прилежащему к одной из них, и радиусу вписанной окружности;

Пусть заданы смежные стороны $a, b$, угол $\alpha$ и радиус $r$ вписанной окружности. Пусть в четырехугольнике $ABCD$ имеем $AB=a, BC=b$ и $\angle A = \alpha$. Центр вписанной окружности $I$ является точкой пересечения биссектрис углов четырехугольника.

Анализ: Расстояние от центра $I$ до каждой стороны равно $r$. Пусть $P, Q$ — точки касания на сторонах $AB, BC$. В прямоугольном треугольнике $\triangle API$ катет $IP=r$ и $\angle IAP = \alpha/2$. Отсюда $AP = r \cdot \cot(\alpha/2)$. Тогда $PB = AB - AP = a - r \cdot \cot(\alpha/2)$. Так как отрезки касательных из одной точки равны, $BQ=PB$. Далее, $QC = BC - BQ = b - PB = b - (a - r \cdot \cot(\alpha/2))$. Зная $BQ$ и $QC$, можно найти углы $\beta$ и $\gamma$ при вершинах $B$ и $C$.

Построение:

1. Строим угол с вершиной в точке $A$, равный $\alpha$.
2. Строим биссектрису этого угла.
3. Находим на биссектрисе центр вписанной окружности $I$. Он находится на расстоянии $r$ от сторон угла. Для этого строим прямую, параллельную одной из сторон угла на расстоянии $r$. Ее пересечение с биссектрисой даст точку $I$.
4. Строим вписанную окружность с центром $I$ и радиусом $r$.
5. На одной из сторон угла откладываем от вершины $A$ отрезок $AB$ длиной $a$.
6. Из точки $B$ проводим вторую касательную к вписанной окружности (первая — это $AB$). Это будет прямая, содержащая сторону $BC$.
7. На этой касательной откладываем от точки $B$ отрезок $BC$ длиной $b$. Получаем вершину $C$.
8. Из точки $C$ проводим вторую касательную к окружности (прямая $CD$).
9. Вторая сторона исходного угла $\alpha$ — это прямая $AD$. Точка пересечения прямых $CD$ и $AD$ дает вершину $D$.
10. Четырехугольник $ABCD$ — искомый.

Доказательство: По построению, окружность с центром $I$ и радиусом $r$ касается всех четырех сторон четырехугольника $ABCD$. Угол $\angle A=\alpha$, и стороны $AB, BC$ имеют заданные длины $a, b$.

Исследование: Построение возможно, если $a > r \cot(\alpha/2)$ и $b > a - r \cot(\alpha/2)$, чтобы длины отрезков касательных были положительными.

Ответ: задача решена.

з) двум противоположным углам, стороне и радиусу вписанной окружности;

Пусть заданы противоположные углы $\angle A = \alpha, \angle C = \gamma$, сторона $a$ и радиус $r$ вписанной окружности. Пусть $AB=a$.

Анализ: Центр вписанной окружности $I$ равноудален от сторон. Расстояние от $I$ до вершины $C$ равно $IC = r / \sin(\gamma/2)$. Это значит, что вершина $C$ лежит на окружности с центром $I$ и радиусом $R_C = r/\sin(\gamma/2)$. Это свойство можно использовать для построения.

Построение:

1. Строим угол, равный $\alpha$, с вершиной в точке $A$.
2. Находим центр вписанной окружности $I$ как точку пересечения биссектрисы этого угла и прямой, параллельной одной из сторон на расстоянии $r$.
3. Строим вписанную окружность с центром $I$ и радиусом $r$.
4. На одной из сторон угла откладываем от $A$ отрезок $AB$ длиной $a$.
5. Из точки $B$ проводим вторую касательную к окружности (прямая $BC$).
6. Строим окружность $\omega_C$ с центром в $I$ и радиусом $R_C = r/\sin(\gamma/2)$.
7. Точка пересечения прямой $BC$ и окружности $\omega_C$ дает нам вершину $C$.
8. Из точки $C$ проводим вторую касательную к вписанной окружности (прямая $CD$).
9. Вторая сторона исходного угла $\alpha$ есть прямая $AD$. Точка пересечения $CD$ и $AD$ есть вершина $D$.
10. Четырехугольник $ABCD$ — искомый.

Доказательство: По построению фигура имеет вписанную окружность радиуса $r$. Угол $\angle A=\alpha$ и сторона $AB=a$. Вершина $C$ лежит на окружности с центром $I$ и радиусом $r/\sin(\gamma/2)$, что гарантирует, что угол $\angle C$ равен $\gamma$.

Исследование: Построение возможно, если $a > r \cot(\alpha/2)$ и если касательная из $B$ пересекает окружность $\omega_C$.

Ответ: задача решена.

и) трем углам и радиусу вписанной окружности.

Пусть заданы три угла $\angle A = \alpha, \angle B = \beta, \angle C = \gamma$ и радиус $r$ вписанной окружности. Четвертый угол $\angle D = \delta$ можно найти из условия, что сумма углов четырехугольника равна $360^\circ$: $\delta = 360^\circ - \alpha - \beta - \gamma$.

Анализ: Форма четырехугольника полностью определяется его углами. Размер определяется радиусом вписанной окружности. Пусть $I$ — центр вписанной окружности, а $P_1, P_2, P_3, P_4$ — точки касания на сторонах $AB, BC, CD, DA$ соответственно. Рассмотрим четырехугольник $AP_1IP_4$. Углы при $P_1$ и $P_4$ прямые, а $\angle A = \alpha$. Тогда центральный угол $\angle P_4IP_1 = 180^\circ - \alpha$. Аналогично, $\angle P_1IP_2 = 180^\circ - \beta$, $\angle P_2IP_3 = 180^\circ - \gamma$, $\angle P_3IP_4 = 180^\circ - \delta$.

Построение:

1. Строим окружность $\omega$ с центром в точке $I$ и радиусом $r$. Это будет вписанная окружность.
2. Выбираем на окружности произвольную точку $P_1$.
3. Последовательно строим на окружности точки $P_2, P_3, P_4$, откладывая центральные углы: $\angle P_1IP_2 = 180^\circ - \beta$, $\angle P_2IP_3 = 180^\circ - \gamma$, $\angle P_3IP_4 = 180^\circ - \delta$. (При этом $\angle P_4IP_1$ автоматически получится равным $180^\circ - \alpha$).
4. В точках $P_1, P_2, P_3, P_4$ проводим касательные к окружности $\omega$.
5. Пересечение касательных, проведенных в $P_1$ и $P_4$, дает вершину $A$.
6. Пересечение касательных в $P_1$ и $P_2$ дает вершину $B$.
7. Пересечение касательных в $P_2$ и $P_3$ дает вершину $C$.
8. Пересечение касательных в $P_3$ и $P_4$ дает вершину $D$.
9. Четырехугольник $ABCD$ — искомый.

Доказательство: По построению окружность $\omega$ является вписанной в четырехугольник $ABCD$ и имеет радиус $r$. Углы четырехугольника равны заданным, так как, например, в четырехугольнике $AP_1IP_4$ углы $\angle AP_1I = \angle AP_4I = 90^\circ$ и $\angle P_4IP_1 = 180^\circ - \alpha$, следовательно, $\angle A = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - (180^\circ - \alpha) = \alpha$. Аналогично для других вершин.

Исследование: Построение всегда возможно, если заданные углы могут быть углами выпуклого четырехугольника. Решение единственно с точностью до вращения.

Ответ: задача решена.