Номер 743, страница 218 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

743. Постройте пятиугольник по серединам его сторон.

Для построения искомого пятиугольника $A_1A_2A_3A_4A_5$ по заданным серединам его сторон $M_1, M_2, M_3, M_4, M_5$ мы будем использовать векторный метод. Сначала мы выведем формулу для нахождения одной из вершин пятиугольника, а затем, зная её, последовательно найдем все остальные.

Анализ и вывод формулы

Пусть $\vec{A_1}, \vec{A_2}, \vec{A_3}, \vec{A_4}, \vec{A_5}$ — радиус-векторы вершин искомого пятиугольника, а $\vec{M_1}, \vec{M_2}, \vec{M_3}, \vec{M_4}, \vec{M_5}$ — радиус-векторы заданных середин сторон. По определению середины отрезка имеем систему из пяти векторных уравнений:

• $\vec{M_1} = \frac{\vec{A_1} + \vec{A_2}}{2}$
• $\vec{M_2} = \frac{\vec{A_2} + \vec{A_3}}{2}$
• $\vec{M_3} = \frac{\vec{A_3} + \vec{A_4}}{2}$
• $\vec{M_4} = \frac{\vec{A_4} + \vec{A_5}}{2}$
• $\vec{M_5} = \frac{\vec{A_5} + \vec{A_1}}{2}$

Решим эту систему относительно $\vec{A_1}$. Выразим последовательно векторы вершин через $\vec{A_1}$:

Из первого уравнения: $\vec{A_2} = 2\vec{M_1} - \vec{A_1}$

Подставим во второе: $\vec{A_3} = 2\vec{M_2} - \vec{A_2} = 2\vec{M_2} - (2\vec{M_1} - \vec{A_1}) = 2\vec{M_2} - 2\vec{M_1} + \vec{A_1}$

Подставим в третье: $\vec{A_4} = 2\vec{M_3} - \vec{A_3} = 2\vec{M_3} - (2\vec{M_2} - 2\vec{M_1} + \vec{A_1}) = 2\vec{M_3} - 2\vec{M_2} + 2\vec{M_1} - \vec{A_1}$

Подставим в четвертое: $\vec{A_5} = 2\vec{M_4} - \vec{A_4} = 2\vec{M_4} - (2\vec{M_3} - 2\vec{M_2} + 2\vec{M_1} - \vec{A_1}) = 2\vec{M_4} - 2\vec{M_3} + 2\vec{M_2} - 2\vec{M_1} + \vec{A_1}$

Наконец, подставим полученное выражение для $\vec{A_5}$ в пятое уравнение системы:$2\vec{M_5} = \vec{A_5} + \vec{A_1} = (2\vec{M_4} - 2\vec{M_3} + 2\vec{M_2} - 2\vec{M_1} + \vec{A_1}) + \vec{A_1}$$2\vec{M_5} = 2\vec{M_4} - 2\vec{M_3} + 2\vec{M_2} - 2\vec{M_1} + 2\vec{A_1}$Разделив на 2, получим:$\vec{M_5} = \vec{M_4} - \vec{M_3} + \vec{M_2} - \vec{M_1} + \vec{A_1}$Откуда выражаем искомый вектор $\vec{A_1}$:

$\vec{A_1} = \vec{M_1} - \vec{M_2} + \vec{M_3} - \vec{M_4} + \vec{M_5}$

Это векторное равенство является ключом к построению. Его можно переписать в более удобном для геометрического построения виде, сгруппировав слагаемые:

$\vec{A_1} - \vec{M_5} = (\vec{M_1} - \vec{M_2}) + (\vec{M_3} - \vec{M_4})$

Что то же самое, что и:

$\vec{M_5A_1} = \vec{M_2M_1} + \vec{M_4M_3}$

Это означает, что для нахождения точки $A_1$ нужно от точки $M_5$ последовательно отложить векторы $\vec{M_2M_1}$ и $\vec{M_4M_3}$.

Порядок построения

Пусть на плоскости даны пять точек $M_1, M_2, M_3, M_4, M_5$.

1. Нахождение вершины $A_1$.
   1. Строим вектор, равный $\vec{M_2M_1}$, с началом в точке $M_5$. Для этого проводим через точку $M_5$ прямую, параллельную прямой $M_1M_2$, и откладываем на ней от точки $M_5$ в направлении от $M_2$ к $M_1$ отрезок, равный длине $M_1M_2$. Получаем вспомогательную точку $P$. Таким образом, $\vec{M_5P} = \vec{M_2M_1}$.
   2. К полученной точке $P$ прибавляем вектор $\vec{M_4M_3}$. Для этого проводим через точку $P$ прямую, параллельную прямой $M_3M_4$, и откладываем на ней от точки $P$ в направлении от $M_4$ к $M_3$ отрезок, равный длине $M_3M_4$. Полученная точка и есть вершина $A_1$.
2. Нахождение остальных вершин. Остальные вершины находим последовательно, используя свойство середин сторон.
   1. Точка $A_2$ симметрична точке $A_1$ относительно точки $M_1$. Для ее построения проводим прямую $A_1M_1$ и откладываем на ней от точки $M_1$ отрезок $M_1A_2$, равный $M_1A_1$, так, чтобы $M_1$ была серединой отрезка $A_1A_2$.
   2. Аналогично строим точку $A_3$, симметричную $A_2$ относительно $M_2$.
   3. Строим точку $A_4$, симметричную $A_3$ относительно $M_3$.
   4. Строим точку $A_5$, симметричную $A_4$ относительно $M_4$.
3. Завершение. Соединяем последовательно точки $A_1, A_2, A_3, A_4, A_5$ отрезками. Полученный пятиугольник $A_1A_2A_3A_4A_5$ является искомым.

Доказательство корректности

Построение вершин $A_2, A_3, A_4, A_5$ гарантирует, что точки $M_1, M_2, M_3, M_4$ являются серединами сторон $A_1A_2, A_2A_3, A_3A_4, A_4A_5$ соответственно. Необходимо лишь проверить, что $M_5$ является серединой стороны $A_5A_1$. Как было показано в аналитической части, вектор $\vec{A_1}$ был выбран именно из этого условия. Подстановка выражения для $\vec{A_1}$ в формулу для середины отрезка $\frac{\vec{A_1} + \vec{A_5}}{2}$ приводит к тождеству $\frac{\vec{A_1} + \vec{A_5}}{2} = \vec{M_5}$, что и доказывает корректность построения.

Ответ: Алгоритм построения пятиугольника следующий. Сначала находится одна из вершин, например $A_1$, с помощью векторного сложения: $\vec{M_5A_1} = \vec{M_2M_1} + \vec{M_4M_3}$. Это выполняется построением с помощью циркуля и линейки: от точки $M_5$ откладывается вектор, равный вектору $\vec{M_2M_1}$, получается точка $P$; затем от точки $P$ откладывается вектор, равный вектору $\vec{M_4M_3}$, в результате чего находится вершина $A_1$. После этого остальные вершины находятся последовательно: $A_2$ строится как точка, симметричная $A_1$ относительно $M_1$; $A_3$ — симметричная $A_2$ относительно $M_2$, и так далее до $A_5$. Соединение вершин $A_1, A_2, A_3, A_4, A_5$ дает искомый пятиугольник.