Номер 741, страница 217 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

741. Постройте четырехугольник по его:

а) трем сторонам и двум диагоналям;

б) четырем сторонам и углу;

в) трем сторонам, диагонали и углу;

г) двум смежным сторонам, диагоналям и углу между ними;

д) двум противолежащим сторонам, углу и диагоналям;

е) трем сторонам и двум соседним углам;

ж) двум смежным сторонам, двум соседним углам и углу между диагоналями;

з) двум противолежащим сторонам и трем углам;

и) трем сторонам и углам, прилежащим к четвертой стороне;

к) двум противоположным сторонам и углу между ними;

л) сторонам и углу между двумя противоположными сторонами;

м) диагоналям, углу между ними и двум противоположным углам;

н) сторонам и отрезку, соединяющему середины диагоналей.

а) трем сторонам и двум диагоналям;

Пусть даны три последовательные стороны четырехугольника $ABCD$: $AB=a$, $BC=b$, $CD=c$ и две диагонали $AC=d_1$, $BD=d_2$.

Анализ: Четырехугольник $ABCD$ можно разбить на два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle BCD$ (или $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$). Стороны треугольника $ABC$ нам известны ($AB=a$, $BC=b$, $AC=d_1$). Это позволяет построить его. После построения $\triangle ABC$ мы получим вершины A, B, C. Четвертую вершину D можно найти, зная ее расстояния до двух уже построенных вершин. Мы знаем $BD=d_2$ и $CD=c$. Этого достаточно для определения положения точки D.

Построение:

1. Строим треугольник $ABC$ по трем сторонам: $AB=a$, $BC=b$, $AC=d_1$. Для этого:
   • Откладываем отрезок $AC$ длиной $d_1$.
   • Из точки A проводим дугу окружности радиусом $a$.
   • Из точки C проводим дугу окружности радиусом $b$.
   • Точка пересечения дуг дает нам вершину B.
2. Находим вершину D. Для этого:
   • Из точки B проводим дугу окружности радиусом $d_2$.
   • Из точки C проводим дугу окружности радиусом $c$.
   • Точка пересечения этих дуг (с той стороны от прямой BC, где еще нет точек) дает нам вершину D.
3. Соединяем последовательно вершины A, B, C, D.

Задача может иметь до двух решений (симметричных относительно прямой AC), в зависимости от выбора положения точки B, и до двух решений для точки D. Условием возможности построения является выполнимость неравенств треугольника для $\triangle ABC$ и $\triangle BCD$.
Ответ: Задача решена.

б) четырем сторонам и углу;

Пусть даны четыре стороны $AB=a$, $BC=b$, $CD=c$, $DA=d$ и угол между двумя соседними сторонами, например, $\angle B$.

Анализ: Знание двух сторон и угла между ними ($AB$, $BC$ и $\angle B$) позволяет однозначно построить треугольник $ABC$. После этого мы будем знать положение вершин A, B, C. Положение вершины D определяется ее расстояниями до точек A ($DA=d$) и C ($CD=c$).

Построение:

1. Строим треугольник $ABC$ по двум сторонам и углу между ними ($a, b, \angle B$):
   • Откладываем отрезок $AB$ длиной $a$.
   • От точки B под углом $\angle B$ к отрезку $AB$ проводим луч.
   • На этом луче откладываем отрезок $BC$ длиной $b$.
   • Соединяем точки A и C.
2. Находим вершину D, используя известные длины сторон $CD=c$ и $DA=d$:
   • Из точки C проводим дугу окружности радиусом $c$.
   • Из точки A проводим дугу окружности радиусом $d$.
   • Точка пересечения дуг дает вершину D.
3. Соединяем вершины A, B, C, D.

Задача может иметь одно, два или не иметь решений в зависимости от того, пересекутся ли дуги на втором шаге.
Ответ: Задача решена.

в) трем сторонам, диагонали и углу;

Существует несколько вариантов интерпретации, какой именно набор элементов дан. Выберем вариант, который не является избыточным или противоречивым. Пусть даны стороны $AB=a$, $BC=b$, $CD=c$, диагональ $AC=d_1$ и угол $\angle ACD = \gamma$.

Анализ: Заданные элементы $AB, BC, AC$ позволяют построить треугольник $ABC$. После этого вершины A, B, C будут зафиксированы. Вершину D можно найти, используя оставшиеся данные: мы знаем расстояние от C до D ($CD=c$) и направление из C в D (относительно уже построенного отрезка AC, так как дан угол $\angle ACD$).

Построение:

1. Строим треугольник $ABC$ по трем сторонам $a, b, d_1$.
2. Для нахождения вершины D:
   • От луча CA откладываем угол $\angle ACD = \gamma$ и проводим луч $CX$.
   • На луче $CX$ откладываем отрезок $CD$ длиной $c$.
   • Полученная точка и есть вершина D.
3. Соединяем вершины A, B, C, D.

Ответ: Задача решена.

г) двум смежным сторонам, диагонали и углу между ними;

Формулировка задачи неоднозначна. "Угол между ними" может относиться к разным элементам. Если предположить, что дан угол между двумя смежными сторонами (например, $\angle B$) и диагональ, выходящая из вершины этого угла (например, $BD$), то для построения четырехугольника данных недостаточно. Если же дана диагональ, соединяющая концы смежных сторон (например, $AC$), то ее длина определяется сторонами и углом между ними, и информация избыточна, а для построения четырехугольника данных по-прежнему не хватает.
Рассмотрим одну из возможных "невырожденных" интерпретаций: даны две смежные стороны $AB=a$, $BC=b$, диагональ, не выходящая из их общей вершины, $BD=d_2$, и угол, не прилегающий к общей вершине B, например, $\angle C = \gamma$.

Анализ: Мы можем начать построение с вершины C и угла $\gamma$. На одной стороне угла отложим сторону $BC=b$. Вершина D будет лежать на второй стороне угла. Ее точное положение можно найти, зная ее расстояние до точки B ($BD=d_2$). После нахождения D, вершина A находится на известном расстоянии от B. Но этих данных все еще недостаточно.
Проблема, скорее всего, имеет другую трактовку. Например: даны стороны $AB=a$, $BC=b$, диагональ $AC=d_1$ и некоторый угол, относящийся к четвертой вершине, скажем, $\angle D = \delta$.

Построение (для интерпретации $AB, BC, AC, \angle D$):

1. Строим треугольник $ABC$ по трем сторонам $a, b, d_1$.
2. Находим вершину D. Известно, что из точки D отрезок AC виден под углом $\delta$. Геометрическим местом точек, удовлетворяющих этому условию, является дуга окружности, построенная на отрезке AC как на хорде.
3. Строим эту дугу окружности.

Любая точка D на построенной дуге будет образовывать четырехугольник $ABCD$, удовлетворяющий заданным условиям. Таким образом, в данной интерпретации задача имеет бесконечное множество решений. Скорее всего, в условии задачи имеется неточность или опечатка.
Ответ: В наиболее вероятных интерпретациях задача либо имеет бесконечное множество решений, либо содержит избыточные данные и не определяет четырехугольник однозначно.

д) двум противолежащим сторонам, углу и диагоналям;

Предположим, что даны две противолежащие стороны $AB=a$, $CD=c$, обе диагонали $AC=d_1$, $BD=d_2$ и один из углов четырехугольника, например, $\angle B = \beta$.

Анализ: Мы можем построить треугольник $ABC$, зная две его стороны $AB=a$, $AC=d_1$ и угол $\angle B$, не лежащий между ними (случай SSA). Такое построение может дать 0, 1 или 2 решения для положения точки C. Если $\triangle ABC$ построен, то вершины A, B, C известны. Точку D можно найти как пересечение двух окружностей с центрами в B и C и радиусами $BD=d_2$ и $CD=c$ соответственно.

Построение:

1. Строим треугольник $ABC$ по стороне $a$, стороне $d_1$ и противолежащему углу $\beta$.
   • Откладываем отрезок $AB$ длиной $a$.
   • Из точки B проводим луч $BX$ под углом $\beta$ к $AB$.
   • Из точки A проводим дугу окружности радиусом $d_1$.
   • Точка (или точки) пересечения луча $BX$ и дуги дает вершину C. Выбираем одно из решений.
2. Находим вершину D:
   • Из точки B проводим дугу окружности радиусом $d_2$.
   • Из точки C проводим дугу окружности радиусом $c$.
   • Точка пересечения этих дуг дает вершину D.
3. Соединяем вершины A, B, C, D.

Ответ: Задача решена.

е) трем сторонам и двум соседним углам;

Пусть даны три последовательные стороны $AB=a$, $BC=b$, $CD=c$ и два угла, между которыми расположена одна из данных сторон, например, $\angle B = \beta$ и $\angle C = \gamma$.

Анализ: План построения очевиден. Мы можем построить сторону $BC$, а затем из ее концов B и C под заданными углами провести лучи, на которых будут лежать стороны $BA$ и $CD$. Зная длины этих сторон, мы найдем вершины A и D.

Построение:

1. Откладываем отрезок $BC$ длиной $b$.
2. В точке B откладываем угол $\beta$ относительно отрезка $BC$ и проводим луч $BX$.
3. В точке C откладываем угол $\gamma$ относительно отрезка $CB$ (в ту же полуплоскость, что и луч $BX$) и проводим луч $CY$.
4. На луче $BX$ откладываем отрезок $BA$ длиной $a$. Получаем вершину A.
5. На луче $CY$ откладываем отрезок $CD$ длиной $c$. Получаем вершину D.
6. Соединяем точки A и D. Четырехугольник $ABCD$ построен.

Ответ: Задача решена.

ж) двум смежным сторонам, двум соседним углам и углу между диагоналями;

Задано 5 элементов, что в общем случае достаточно для построения четырехугольника. Пусть даны стороны $AB=a$, $BC=b$, углы $\angle B=\beta$, $\angle C=\gamma$ и угол между диагоналями $\varphi$.

Анализ: Мы можем построить вершины A, B, C, используя данные $a, b, \beta$. После этого у нас будет зафиксирована диагональ $AC$. Вершина D должна лежать на луче, выходящем из C под углом $\gamma$ к $CB$. Также линия $BD$ должна пересекать линию $AC$ под углом $\varphi$. Это позволяет найти точку D.

Построение:

1. Откладываем отрезок $BC$ длиной $b$.
2. В точке B строим угол $\beta$ к $BC$ и на его стороне откладываем отрезок $BA=a$. Получаем вершины A, B, C.
3. Проводим прямую $AC$.
4. В точке C строим угол $\gamma$ к $CB$ и проводим луч $CY$. Вершина D лежит на этом луче.
5. Строим прямую $l$, проходящую через точку B и пересекающую прямую $AC$ под углом $\varphi$. (Для этого можно в любой точке на $AC$ построить прямую под углом $\varphi$, а затем провести через B прямую, параллельную ей). Таких прямых может быть две.
6. Точка пересечения прямой $l$ и луча $CY$ есть искомая вершина D.
7. Соединяем вершины A, B, C, D.

Ответ: Задача решена.

з) двум противолежащим сторонам и трем углам;

Пусть даны стороны $AB=a$, $CD=c$ и углы $\angle A, \angle B, \angle C$. Четвертый угол $\angle D$ определяется из условия $\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ$. Таким образом, нам известны все углы.

Анализ: Задача сводится к построению отрезка $AB$ заданной длины $a$, концы которого лежат на двух непараллельных прямых (`AD` и `BC`), и который имеет заданный наклон относительно этих прямых.

Построение:

1. Вычисляем $\angle D = 360^\circ - \angle A - \angle B - \angle C$.
2. Проводим произвольную прямую $l$, на которой будет лежать сторона $AD$.
3. В произвольной точке D на прямой $l$ строим луч $DX$, образующий с $l$ угол $\angle D$.
4. На луче $DX$ откладываем отрезок $DC$ длиной $c$.
5. Через точку C проводим прямую $m$ так, чтобы угол между $DC$ и $m$ был равен $\angle C$. Прямая $m$ будет содержать сторону $BC$.
6. Теперь нам нужно найти отрезок $AB$ длиной $a$, концы которого лежат на прямых $l$ (точка A) и $m$ (точка B), и при этом $\angle DAB = \angle A$. Это эквивалентно тому, что прямая $AB$ должна образовывать с прямой $l$ угол $180^\circ - \angle A$.
7. Для этого выполняем вспомогательное построение: берем любую точку $P$ на прямой $l$ и строим отрезок $PQ$ длиной $a$ под углом $180^\circ - \angle A$ к прямой $l$.
8. Через точку $Q$ проводим прямую $l'$, параллельную $l$.
9. Пусть $l'$ пересекает прямую $m$ в точке B.
10. Вектор $\vec{QB}$ является искомым вектором сдвига. Переносим отрезок $PQ$ на вектор $\vec{QB}$. Его начало $P$ переместится в точку A на прямой $l$, а конец $Q$ - в точку B на прямой $m$.
11. Соединяем A, B, C, D.

Ответ: Задача решена.

и) трем сторонам и углам, прилежащим к четвертой стороне;

Пусть даны стороны $AB=a$, $BC=b$, $DA=d$ и углы $\angle C = \gamma$, $\angle D = \delta$, прилежащие к неизвестной стороне $CD$.

Анализ: Длину стороны $CD$ можно найти, решив уравнение, которое связывает данные величины. Опустим перпендикуляры $AA'$ и $BB'$ на прямую $CD$. Тогда из прямоугольного трапеции $AA'B'B$ по теореме Пифагора имеем $AB^2 = (AA'-BB')^2 + A'B'^2$. Выражая $AA'$, $BB'$ и $A'B'$ через известные стороны и углы и неизвестную сторону $CD=x$, получим квадратное уравнение для $x$. $a^2 = (d \sin \delta - b \sin \gamma)^2 + (x - d \cos \delta - b \cos \gamma)^2$. Это уравнение позволяет найти длину $x=CD$ с помощью циркуля и линейки.

Построение:

1. Строим вспомогательные отрезки: $h_A = d \sin \delta$, $p_A = d \cos \delta$, $h_B = b \sin \gamma$, $p_B = b \cos \gamma$.
2. Строим отрезок $L^2 = a^2 - (h_A-h_B)^2$. Это делается построением прямоугольного треугольника с гипотенузой $a$ и катетом $|h_A-h_B|$. Второй катет будет равен $L$.
3. Искомая длина $x = CD$ равна $p_A + p_B \pm L$. Выбираем одно из положительных решений.
4. Теперь задача сводится к построению по четырем сторонам $a, b, x, d$ и двум углам $\gamma, \delta$. Это можно сделать, например, как в пункте (е):
   • Строим отрезок $CD$ длиной $x$.
   • В точках C и D откладываем углы $\gamma$ и $\delta$ и проводим лучи.
   • На лучах откладываем отрезки $CB=b$ и $DA=d$.
   • Соединяем полученные точки A и B.

Ответ: Задача решена.

к) двум противоположным сторонам и углу между ними;

Формулировка "угол между противоположными сторонами" обычно означает угол между прямыми, содержащими эти стороны. Таких данных (3 элемента) недостаточно для построения четырехугольника. Вероятно, имеется в виду пункт (л), где даны все 4 стороны.

Ответ: Задача в данной формулировке некорректна, так как данных недостаточно.

л) сторонам и углу между двумя противоположными сторонами;

Пусть даны все четыре стороны $AB=a, BC=b, CD=c, DA=d$ и угол $\varphi$ между прямыми, содержащими противоположные стороны $AB$ и $CD$.

Анализ: Используем метод параллельного переноса. Перенесем сторону $AB$ на вектор $\vec{CE}$, так что $ABCE$ — параллелограмм. Тогда $EC=a$, $AE=b$. Угол между прямыми $CD$ и $CE$ будет равен $\varphi$, так как $CE \parallel AB$. Таким образом, мы можем построить треугольник $DCE$ по двум сторонам ($c, a$) и углу между ними ($\varphi$). Затем можно найти точку A, зная ее расстояния до D и E.

Построение:

1. Строим треугольник $DCE$ по двум сторонам $DC=c$, $CE=a$ и углу между ними $\angle DCE = \varphi$.
2. Находим вершину A. Точка A удалена от D на расстояние $d$ и от E на расстояние $b$.
   • Из точки D проводим дугу окружности радиусом $d$.
   • Из точки E проводим дугу окружности радиусом $b$.
   • Их пересечение дает точку A.
3. Находим вершину B. Проще всего это сделать, достроив параллелограмм $ABCE$. Для этого переносим вектор $\vec{EC}$ в точку A. Конец вектора будет в точке B. (Или $\vec{AB} = \vec{EC}$).
4. Соединяем A, B, C, D.

Ответ: Задача решена.

м) диагоналям, углу между ними и двум противоположным углам;

Пусть даны диагонали $AC=d_1$, $BD=d_2$, угол между ними $\varphi$ и два противоположных угла, например, $\angle A$ и $\angle C$.

Анализ: Это одна из самых сложных задач на построение четырехугольника. Прямое построение крайне затруднительно. Решение использует метод геометрических мест.

Идея построения:

1. Строим отрезок $BD$ длиной $d_2$.
2. Строим геометрическое место точек (ГМТ), из которых отрезок $BD$ виден под углом $\angle A$. Это дуга окружности $k_A$.
3. С другой стороны от $BD$ строим ГМТ, из которых $BD$ виден под углом $\angle C$. Это дуга окружности $k_C$.
4. Вершина A должна лежать на $k_A$, а вершина C — на $k_C$.
5. Теперь нужно использовать условия на вторую диагональ $AC$. Возьмем произвольную точку $A'$ на дуге $k_A$. Проведем через $A'$ и точку пересечения диагоналей $O'$ прямую. Эта прямая должна пересекать $BD$ под углом $\varphi$. На этой прямой отложим отрезок $A'C' = d_1$.
6. Нужно найти такое положение точки $A'$, чтобы точка $C'$ попала на дугу $k_C$. ГМТ точек $C'$ при движении $A'$ по $k_A$ является сложной кривой (улиткой Паскаля). Найти ее пересечение с окружностью $k_C$ циркулем и линейкой в общем случае невозможно.

Задача в общем виде неразрешима с помощью циркуля и линейки. Она может иметь решение в частных случаях (например, если один из углов прямой).

Ответ: В общем случае задача неразрешима циркулем и линейкой.

н) сторонам и отрезку, соединяющему середины диагоналей.

Пусть даны четыре стороны $AB=a, BC=b, CD=c, DA=d$ и длина $m$ отрезка, соединяющего середины диагоналей $AC$ и $BD$.

Анализ: Используем метод вспомогательного треугольника. Пусть M — середина $AC$, N — середина $BD$, K — середина $CD$. В $\triangle ACD$ отрезок $MK$ — средняя линия, поэтому $MK = AD/2 = d/2$ и $MK \parallel AD$. В $\triangle BCD$ отрезок $NK$ — средняя линия, поэтому $NK = BC/2 = b/2$ и $NK \parallel BC$. Таким образом, мы можем построить $\triangle MNK$ по трем сторонам: $MN=m$, $MK=d/2$, $NK=b/2$.

Построение:

1. Строим треугольник $MNK$ по трем сторонам: $m, b/2, d/2$.
2. Теперь восстанавливаем четырехугольник. Найдем вершину C.
   • Пусть M - начало координат. Вектор $\vec{MC} = \vec{u}$. Тогда $\vec{MA} = -\vec{u}$.
   • $\vec{MD} = \vec{MC} + \vec{CD} = \vec{u} + \vec{CD}$. Также $\vec{MK} = (\vec{MC}+\vec{MD})/2$. Отсюда $\vec{MD} = 2\vec{MK} - \vec{MC} = 2\vec{MK} - \vec{u}$.
   • $\vec{CD} = \vec{MD} - \vec{MC} = 2\vec{MK} - 2\vec{u}$. Длина $|\vec{CD}| = c$, значит $|2\vec{MK}-2\vec{u}|=c$, или $|\vec{u}-\vec{MK}|=c/2$. Это означает, что точка C находится на окружности с центром в K и радиусом $c/2$.
   • Аналогично, $\vec{MB} = 2\vec{MN} - \vec{MD} = 2\vec{MN} - (2\vec{MK}-\vec{u}) = 2(\vec{MN}-\vec{MK}) + \vec{u}$.
   • $\vec{AB} = \vec{MB} - \vec{MA} = (2(\vec{MN}-\vec{MK})+\vec{u}) - (-\vec{u}) = 2(\vec{MN}-\vec{MK}) + 2\vec{u}$.
   • Длина $|\vec{AB}|=a$, значит $|2(\vec{MN}-\vec{MK}) + 2\vec{u}|=a$, или $|\vec{u} - (\vec{MK}-\vec{MN})|=a/2$. То есть C находится на окружности с центром в точке P, определяемой вектором $\vec{MP} = \vec{MK}-\vec{MN} = \vec{NK}$, и радиусом $a/2$.
3. Находим C как точку пересечения двух окружностей:
   • Окружности с центром в K и радиусом $c/2$.
   • Окружности с центром в точке P (такой, что $\vec{MP}=\vec{NK}$) и радиусом $a/2$.
4. Найдя точку C, находим остальные:
   • A — точка, симметричная C относительно M. ($A = 2M-C$).
   • D — точка, симметричная C относительно K. ($D = 2K-C$).
   • B — точка, симметричная D относительно N. ($B = 2N-D$).
5. Соединяем A, B, C, D.

Ответ: Задача решена.