Номер 740, страница 217 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

740. Постройте трапецию по:

а) ее основанию, прилежащему углу и двум боковым сторонам;

б) разности ее оснований, двум боковым сторонам и одной диагонали;

в) четырем сторонам;

г) основанию, двум диагоналям и высоте;

д) двум основаниям и двум диагоналям;

е) трем сторонам и диагонали;

ж) трем сторонам и высоте;

з) боковой стороне, высоте и диагонали;

и) основанию, прилежащим углам и высоте;

к) основанию, диагоналям и углу между ними;

л) боковой стороне, диагонали и углу между диагоналями;

м) основаниям и двум диагоналям;

н) диагоналям, средней линии и углу;

о) диагоналям, углу между ними и сумме (разности) двух соседних сторон.

а) ее основанию, прилежащему углу и двум боковым сторонам;

Пусть даны основание $AD=a$, прилежащий к нему угол $\angle A = \alpha$ и боковые стороны $AB=c$, $CD=d$.

Анализ: Мы можем построить треугольник $ABH$, где $BH$ — высота трапеции. Однако, проще всего начать с построения угла $A$ и откладывания на его сторонах известных отрезков $AB$ и $AD$. Это зафиксирует три вершины $A, B, D$. Четвертая вершина $C$ должна лежать на прямой, параллельной $AD$ и проходящей через $B$, и на расстоянии $d$ от вершины $D$.

Построение:

1. Строим прямую и откладываем на ней отрезок $AD$ длиной $a$.
2. От луча $AD$ в точке $A$ откладываем угол, равный $\alpha$.
3. На второй стороне угла от точки $A$ откладываем отрезок $AB$ длиной $c$. Таким образом, получаем вершины $A, B, D$.
4. Через точку $B$ проводим прямую $l$, параллельную прямой $AD$.
5. Строим окружность с центром в точке $D$ и радиусом $d$.
6. Точка пересечения прямой $l$ и окружности является искомой вершиной $C$.
7. Соединяем точки $B$ и $C$, $C$ и $D$. Трапеция $ABCD$ построена.

Исследование: Задача имеет решение, если окружность из шага 5 пересекает прямую $l$. Расстояние от точки $D$ до прямой $l$ равно высоте трапеции $h = c \cdot \sin\alpha$. Для пересечения необходимо, чтобы радиус окружности был не меньше этого расстояния, то есть $d \ge h$ или $d \ge c \cdot \sin\alpha$.

• Если $d > c \cdot \sin\alpha$, окружность пересечет прямую в двух точках $C_1$ и $C_2$. Это дает два решения (две разные трапеции).
• Если $d = c \cdot \sin\alpha$, будет одна точка касания, и решение будет единственным (трапеция, у которой боковая сторона $CD$ перпендикулярна основаниям).
• Если $d < c \cdot \sin\alpha$, решений нет.

Ответ: Задача имеет до двух решений при выполнении условия $d \ge c \cdot \sin\alpha$.

б) разности ее оснований, двум боковым сторонам и одной диагонали;

Пусть даны разность оснований $|AD-BC| = \Delta$, боковые стороны $AB=c$, $CD=d$ и диагональ $AC=d_1$.

Анализ: Применим метод параллельного переноса. Через вершину $B$ проведем прямую, параллельную боковой стороне $CD$, до пересечения с основанием $AD$ в точке $E$. Тогда четырехугольник $BCDE$ — параллелограмм, $BC=ED$ и $BE=CD=d$. Отрезок $AE$ равен $|AD-ED| = |AD-BC| = \Delta$. Таким образом, мы можем построить треугольник $ABE$ по трем сторонам: $AB=c$, $BE=d$, $AE=\Delta$. Построив этот треугольник, мы найдем вершины $A$ и $B$. Вершина $C$ находится на пересечении прямой, проходящей через $B$ параллельно $AE$, и окружности с центром в $A$ и радиусом $d_1$.

Построение:

1. Строим треугольник $ABE$ по трем сторонам: $AE = \Delta$, $AB = c$, $BE = d$.
2. Через точку $B$ проводим прямую $l$, параллельную прямой $AE$.
3. Строим окружность с центром в точке $A$ и радиусом $d_1$.
4. Точка (или точки) пересечения прямой $l$ и окружности является вершиной $C$.
5. На луче $AE$ откладываем отрезок $AD$ (если $AD$ - большее основание). Для нахождения $D$ можно построить параллелограмм $BCDE$, отложив от точки $E$ вектор $\vec{ED} = \vec{BC}$.
6. Соединяем вершины. Трапеция $ABCD$ построена.

Исследование:

1. Построение треугольника $ABE$ возможно, если выполняется неравенство треугольника: $|c-d| < \Delta < c+d$.
2. Пересечение прямой $l$ и окружности (шаг 4) возможно, если $d_1$ не меньше высоты треугольника $ABE$, опущенной из вершины $B$ на сторону $AE$. Если $d_1$ больше этой высоты, то будет два решения для точки $C$, а значит, и две трапеции.

Ответ: Задача может иметь до двух решений при выполнении указанных условий.

в) четырем сторонам;

Пусть даны основания $AD=a$, $BC=b$ и боковые стороны $AB=c$, $CD=d$. Предположим $a > b$.

Анализ: Как и в предыдущем пункте, используем параллельный перенос. Через вершину $C$ проведем прямую, параллельную стороне $AB$, до пересечения с основанием $AD$ в точке $E$. Тогда $ABCE$ — параллелограмм, $AE=BC=b$ и $CE=AB=c$. Остается отрезок $ED = AD-AE = a-b$. Таким образом, задача сводится к построению треугольника $CED$ по трем сторонам $CE=c, CD=d, ED=a-b$, а затем достроить его до трапеции.

Построение:

1. На прямой откладываем отрезок $ED$ длиной $a-b$.
2. Строим треугольник $CED$ по трем сторонам: $ED=a-b$, $CE=c$, $CD=d$. Это делается пересечением двух окружностей: с центром в $E$ радиусом $c$ и с центром в $D$ радиусом $d$.
3. На луче $ED$ от точки $E$ откладываем отрезок $EA=b$ так, чтобы точка $D$ не лежала между $A$ и $E$. Получаем вершину $A$.
4. Через точку $C$ проводим прямую, параллельную $AD$.
5. На этой прямой откладываем отрезок $CB=b$ так, чтобы $ABCD$ был выпуклым четырехугольником (или строим параллелограмм $ABCE$).
6. Трапеция $ABCD$ построена.

Исследование: Задача имеет единственное (с точностью до симметрии) решение, если можно построить треугольник $CED$. Для этого должно выполняться неравенство треугольника: $|c-d| < a-b < c+d$.

Ответ: Задача имеет единственное решение при выполнении условия $|c-d| < |a-b| < c+d$.

г) основанию, двум диагоналям и высоте;

Пусть даны основание $AD=a$, диагонали $AC=d_1$, $BD=d_2$ и высота $h$.

Анализ: Через вершину $C$ проведем прямую, параллельную диагонали $BD$, до пересечения с продолжением основания $AD$ в точке $E$. Четырехугольник $BCED$ — параллелограмм, поэтому $CE=BD=d_2$ и $DE=BC$. В треугольнике $ACE$ известны стороны $AC=d_1$, $CE=d_2$. Его основание $AE = AD+DE = AD+BC = a+b$. Высота этого треугольника, опущенная из вершины $C$ на прямую $AE$, равна высоте трапеции $h$. Мы можем построить треугольник по двум сторонам и высоте к третьей стороне. Из этого построения мы найдем длину $AE=a+b$, а значит, и длину второго основания $b$. Далее задача сводится к построению по двум основаниям и двум диагоналям (пункт д)).

Построение:

1. Строим прямую $l$ и параллельную ей прямую $l'$ на расстоянии $h$.
2. Выбираем на прямой $l'$ точку $C$.
3. Строим окружность с центром $C$ и радиусом $d_1$. Точки ее пересечения с $l$ — кандидаты на роль вершины $A$. Выберем одну, $A$.
4. Строим окружность с центром $C$ и радиусом $d_2$. Точки ее пересечения с $l$ — кандидаты на роль точки $E$.
5. Пусть $H$ — проекция $C$ на $l$. Тогда $AH = \sqrt{d_1^2-h^2}$ и $EH=\sqrt{d_2^2-h^2}$. Точки $A$ и $E$ могут лежать по одну или по разные стороны от $H$. Таким образом, длина $AE$ может быть равна $\sqrt{d_1^2-h^2} + \sqrt{d_2^2-h^2}$ или $|\sqrt{d_1^2-h^2} - \sqrt{d_2^2-h^2}|$.
6. Обозначим найденную длину $AE$ как $S$. Мы знаем, что $S = a+b$. Так как $a$ дано, находим $b=S-a$.
7. Теперь задача сводится к построению трапеции по двум основаниям $a, b$ и двум диагоналям $d_1, d_2$ (см. пункт д)).

Исследование:

1. Построение возможно, если $d_1 \ge h$ и $d_2 \ge h$.
2. Возможны два значения для $S=a+b$. Для каждого из них вычисляется $b=S-a$. Решение существует, если $b>0$.
3. Для каждого допустимого $b$ нужно проверить, возможна ли постройка трапеции по $a, b, d_1, d_2$ (см. пункт д)), т.е. $|d_1-d_2| < a+b < d_1+d_2$.

Таким образом, задача может иметь до двух решений.

Ответ: Задача может иметь до двух решений при выполнении указанных условий.

д) двум основаниям и двум диагоналям;

Пусть даны основания $AD=a$, $BC=b$ и диагонали $AC=d_1$, $BD=d_2$.

Анализ: Как и в пункте г), проведем через $C$ прямую, параллельную $BD$, до пересечения с продолжением $AD$ в точке $E$. Получим треугольник $ACE$ со сторонами $AC=d_1$, $CE=BD=d_2$ и $AE=AD+BC=a+b$. Построив этот треугольник, мы легко достроим его до искомой трапеции.

Построение:

1. Строим отрезок $AE$ длиной $a+b$.
2. Строим треугольник $ACE$ по трем сторонам: $AE=a+b$, $AC=d_1$, $CE=d_2$. Это делается пересечением окружностей с центрами в $A$ и $E$ и радиусами $d_1$ и $d_2$ соответственно.
3. На отрезке $AE$ откладываем от точки $A$ отрезок $AD$ длиной $a$.
4. Через точку $D$ проводим прямую, параллельную $CE$.
5. Через точку $C$ проводим прямую, параллельную $AE$.
6. Пересечение этих двух прямых дает вершину $B$. (Или, что то же самое, строим вектор $\vec{CB} = \vec{ED}$).
7. Трапеция $ABCD$ построена.

Исследование: Задача имеет единственное (с точностью до симметрии) решение, если можно построить треугольник $ACE$. Для этого должно выполняться неравенство треугольника: $|d_1-d_2| < a+b < d_1+d_2$.

Ответ: Задача имеет единственное решение, если выполняется неравенство треугольника для сторон $d_1, d_2, a+b$.

е) трем сторонам и диагонали;

Будем считать, что даны основание $AD=a$, боковые стороны $AB=c$, $CD=d$ и диагональ $AC=d_1$. Другие комбинации (например, два основания и боковая сторона) решаются аналогично.

Анализ: Мы можем построить треугольник $ACD$ по трем сторонам $a, d, d_1$. После этого у нас будут зафиксированы вершины $A, C, D$. Вершина $B$ должна лежать на прямой, параллельной $AD$ и проходящей через $C$, а также находиться на расстоянии $c$ от $A$.

Построение:

1. Строим треугольник $ACD$ по трем сторонам: $AD=a$, $CD=d$, $AC=d_1$.
2. Через точку $C$ проводим прямую $l$, параллельную прямой $AD$.
3. Строим окружность с центром в $A$ и радиусом $c$.
4. Точка пересечения прямой $l$ и окружности есть искомая вершина $B$.
5. Трапеция $ABCD$ построена.

Исследование:

1. Построение $\triangle ACD$ возможно, если $|a-d| < d_1 < a+d$.
2. Пересечение прямой $l$ и окружности возможно, если радиус $c$ не меньше расстояния от $A$ до прямой $l$. Это расстояние равно высоте трапеции $h$ (которая также является высотой $\triangle ACD$ из вершины $C$). Если $c>h$, будет два решения (две точки $B$), если $c=h$ — одно, если $c<h$ — решений нет.

Ответ: Задача может иметь до двух решений при выполнении указанных условий.

ж) трем сторонам и высоте;

Будем считать, что даны основание $AD=a$, боковые стороны $AB=c$, $CD=d$ и высота $h$.

Анализ: Известно расстояние $h$ между параллельными прямыми, на которых лежат основания. Зафиксировав на одной из них основание $AD$, можно найти положения вершин $B$ и $C$ на другой прямой.

Построение:

1. Строим прямую $l_1$ и параллельную ей прямую $l_2$ на расстоянии $h$.
2. На прямой $l_1$ откладываем отрезок $AD$ длиной $a$.
3. Строим окружность с центром в $A$ и радиусом $c$. Точки ее пересечения с $l_2$ — кандидаты на роль вершины $B$. Выберем одну ($B_1$ или $B_2$).
4. Строим окружность с центром в $D$ и радиусом $d$. Точки ее пересечения с $l_2$ — кандидаты на роль вершины $C$. Выберем одну ($C_1$ или $C_2$).
5. Соединяя $A, B, C, D$, получаем трапецию. В зависимости от выбора точек $B$ и $C$ (например, $B_1$ и $C_1$, $B_1$ и $C_2$ и т.д.) можно получить до четырех различных трапеций.

Исследование: Задача имеет решения, если $c \ge h$ и $d \ge h$. Если оба неравенства строгие, возможны до 4 различных решений (некоторые могут быть вырожденными или самопересекающимися в зависимости от расположения вершин).

Ответ: Задача может иметь до четырех решений при $c \ge h$ и $d \ge h$.

з) боковой стороне, высоте и диагонали;

Формулировка задачи неоднозначна. Будем считать, что даны две боковые стороны $AB=c$, $CD=d$, высота $h$ и одна диагональ $AC=d_1$.

Анализ: Построение можно провести, разместив вершины на двух параллельных прямых, отстоящих друг от друга на расстояние $h$.

Построение:

1. Строим прямую $l_1$ и параллельную ей прямую $l_2$ на расстоянии $h$.
2. Выбираем на прямой $l_1$ произвольную точку $A$.
3. Строим окружность с центром в $A$ и радиусом $d_1$. Точка (или точки) ее пересечения с $l_2$ — вершина $C$. Выберем одну.
4. Теперь строим окружность с центром в $A$ и радиусом $c$. Точка (или точки) ее пересечения с $l_2$ — вершина $B$. Выберем одну.
5. Теперь строим окружность с центром в $C$ и радиусом $d$. Точка (или точки) ее пересечения с $l_1$ — вершина $D$. Выберем одну.
6. Соединив точки, получим трапецию $ABCD$.

Исследование: Задача имеет решения, если $c \ge h$, $d \ge h$ и $d_1 \ge h$. Из-за возможности выбора на каждом шаге (по две точки, если радиусы больше $h$), общее число решений может достигать $2 \times 2 \times 2 = 8$. Однако не все комбинации дадут невырожденную трапецию с нужным порядком вершин.

Ответ: Задача имеет решения, если $c,d,d_1 \ge h$, и может иметь несколько решений.

и) основанию, прилежащим углам и высоте;

Пусть даны основание $AD=a$, прилежащие углы $\angle A = \alpha$, $\angle D = \delta$ и высота $h$.

Анализ: Эта задача является переопределенной. Если заданы основание $a$ и прилежащие углы $\alpha$ и $\delta$, то высота трапеции $h$ определяется однозначно. Опустив высоты $BB'$ и $CC'$ из вершин $B$ и $C$ на основание $AD$, получим прямоугольные треугольники $ABB'$ и $DCC'$. Из них $AB' = h / \tan\alpha$ и $DC' = h / \tan\delta$. Тогда второе основание $BC = a - AB' - DC' = a - h(\cot\alpha + \cot\delta)$. Для построения трапеции по $a, \alpha, \delta$ высота $h$ не нужна. Если же даны все четыре параметра, то задача имеет решение только в том случае, если они согласованы. Например, из $\triangle ABB'$ имеем $h = AB \sin\alpha$. Из $\triangle DCC'$ имеем $h = CD \sin\delta$. Из $a = BC+AB\cos\alpha+CD\cos\delta$ следует, что $a = BC + h\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} + h\frac{\cos\delta}{\sin\delta} = BC + h(\cot\alpha+\cot\delta)$. Таким образом, заданные величины не являются независимыми.

Построение (если параметры согласованы):

1. На прямой откладываем отрезок $AD$ длиной $a$.
2. В точке $A$ строим угол $\alpha$, а в точке $D$ — угол $\delta$ (в одну полуплоскость).
3. Проводим прямую $l$, параллельную $AD$ на расстоянии $h$.
4. Пересечение прямой $l$ со стороной угла $\alpha$ дает точку $B$, а со стороной угла $\delta$ — точку $C$.
5. Трапеция $ABCD$ построена.

Ответ: Задача переопределена. Решение существует и единственно только в том случае, если заданные параметры согласованы между собой.

к) основанию, диагонали и углу между ними;

Формулировка "углу между ними" может трактоваться по-разному. Если имеется в виду угол между основанием и диагональю, то задача, как правило, недоопределена. Наиболее вероятно, что в условии опечатка, и имеются в виду две диагонали и угол между ними. Решим эту задачу. Пусть даны основание $AD=a$, диагонали $AC=d_1$, $BD=d_2$ и угол $\omega$ между ними.

Анализ: Используем метод параллельного переноса. Проведем через вершину $C$ прямую, параллельную диагонали $BD$, до пересечения с продолжением $AD$ в точке $E$. Тогда $CE=BD=d_2$. Угол $\angle ACE$ равен углу между диагоналями $\omega$ (или $180^\circ - \omega$). В $\triangle ACE$ мы знаем две стороны ($AC=d_1, CE=d_2$) и угол между ними. Мы можем построить этот треугольник. Его сторона $AE = AD+BC = a+b$. Построив $\triangle ACE$, мы найдем $AE$, а значит и $b = AE-a$. Далее задача сводится к пункту д).

Построение:

1. Строим $\triangle ACE$ по двум сторонам $AC=d_1$, $CE=d_2$ и углу $\angle ACE = \omega$ между ними.
2. Измеряем сторону $AE$. Находим $b = AE - a$. Если $AE \le a$, решения нет.
3. Теперь задача сводится к построению по $a, b, d_1, d_2$ (пункт д)). На отрезке $AE$ откладываем $AD=a$. Затем строим параллелограмм $BCED$, получая вершину $B$.

Ответ: При сделанном предположении задача имеет единственное решение, если после построения $\triangle ACE$ оказывается, что $AE > a$.

л) боковой стороне, диагонали и углу между диагоналями;

Формулировка задачи "боковой стороне, диагонали и углу между диагоналями" является неоднозначной и, вероятно, содержит опечатку. В большинстве разумных трактовок (например, даны боковая сторона $c$, диагональ $d_1$ и угол $\omega$ между диагоналями) задача является либо недоопределенной, либо требует для решения сложных методов (например, метода геометрических мест), выходящих за рамки стандартного школьного курса. Поэтому детальное решение не приводится.

Ответ: Задача в данной формулировке, скорее всего, некорректна или недоопределена.

м) основаниям и двум диагоналям;

Эта задача полностью идентична задаче из пункта д).

Ответ: Решение см. в пункте д).

н) диагоналям, средней линии и углу;

Предположительно, имеется в виду угол между диагоналями. Пусть даны диагонали $d_1, d_2$, средняя линия $m$ и угол $\omega$ между диагоналями.

Анализ: Как и в пунктах г) и к), рассмотрим вспомогательный треугольник $ACE$, где $E$ — точка на продолжении основания $AD$ такая, что $BCED$ — параллелограмм. Стороны этого треугольника: $AC=d_1$, $CE=d_2$, а третья сторона $AE = a+b$. Длина средней линии трапеции $m = (a+b)/2$, следовательно, $AE=2m$. Угол $\angle ACE$ равен углу между диагоналями $\omega$ (или $180^\circ - \omega$). Таким образом, все элементы треугольника $ACE$ (две стороны и угол между ними, а также третья сторона) связаны между собой по теореме косинусов: $(AE)^2 = (AC)^2 + (CE)^2 - 2(AC)(CE)\cos(\angle ACE)$ $(2m)^2 = d_1^2 + d_2^2 - 2d_1 d_2 \cos(\omega)$ Эта формула показывает, что четыре заданных параметра ($d_1, d_2, m, \omega$) не являются независимыми. Если задать любые три из них, четвертый определяется однозначно. Следовательно, задача является переопределенной.

Построение (если параметры согласованы):

1. Строим треугольник $ACE$ по трем сторонам: $d_1, d_2, 2m$.
2. После этого задача становится неопределенной, так как мы не знаем, как разбить отрезок $AE$ на отрезки $a$ и $b$, составляющие основания трапеции. Нам не хватает данных для однозначного определения точки $D$.

Ответ: Задача переопределена (данные избыточны) и в то же время не имеет единственного решения для построения самой трапеции, так как не позволяет однозначно определить длины оснований.

о) диагоналям, углу между ними и сумме (разности) двух соседних сторон.

Эта задача является очень сложной. "Соседние стороны" могут означать две боковые стороны или основание и боковую сторону. В любом из этих случаев стандартные методы построения (такие как параллельный перенос) не приводят к простому решению. Задача требует применения нетривиальных геометрических преобразований или аналитических расчетов, которые выходят за рамки базового курса геометрии.

Ответ: Задача относится к классу сложных и в рамках стандартных методов не решается.