Номер 737, страница 216 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

737. Постройте ромб по:

а) его стороне и одному из углов;

б) его диагонали и одному из углов;

в) его стороне и диагонали;

г) его диагоналям;

д) его диагонали и высоте;

е) его углу и диагонали, выходящей из вершины этого угла;

ж) его углу и высоте;

з) сумме его диагоналей и углу между диагональю и стороной;

и) одному из его углов и сумме диагонали со стороной;

к) одному из его углов и разности диагонали со стороной;

л) его стороне и сумме диагоналей;

м) его стороне и разности диагоналей;

н) сумме его диагоналей и углу между диагональю и стороной;

о) его стороне и радиусу вписанной окружности.

а) его стороне и одному из углов

Пусть заданы отрезок, равный стороне ромба a, и угол α.

1. Построим луч с началом в точке A.
2. Отложим на луче отрезок AD, равный a.
3. От луча AD отложим угол, равный α. Построим второй луч с началом в точке A.
4. На втором луче отложим отрезок AB, равный a.
5. Построим окружность с центром в точке B и радиусом a.
6. Построим окружность с центром в точке D и радиусом a.
7. Точка пересечения этих окружностей (отличная от A) будет четвертой вершиной ромба C.
8. Соединим точки B с C и D с C.

Ответ:

Четырехугольник ABCD — искомый ромб, так как все его стороны равны a, а угол при вершине A равен α.

б) его диагонали и одному из углов

Пусть заданы диагональ d и угол α. Возможны два случая.

Случай 1: Угол α — угол, противолежащий диагонали d. Пусть ромб ABCD, диагональ BD = d, а ∠A = α.

1. Рассмотрим треугольник ABD. Он равнобедренный, так как AB = AD.
2. Углы при основании BD равны: $∠ABD = ∠ADB = (180° - α) / 2$.
3. Построим отрезок BD длиной d.
4. От отрезка BD по одну сторону построим углы $∠DBA$ и $∠BDA$, равные $(180° - α) / 2$. Для этого построим угол, смежный с α, и разделим его пополам.
5. Пересечение сторон этих углов даст нам вершину A.
6. Аналогично, построив такие же углы по другую сторону от BD, получим вершину C.
7. Соединим точки A, B, C, D.

Случай 2: Угол α — угол, прилежащий к диагонали d. Это задание совпадает с пунктом е).

Ответ:

Построенный четырехугольник ABCD — искомый ромб.

в) его стороне и диагонали

Пусть заданы сторона a и диагональ d.

1. Ромб состоит из двух равных равнобедренных треугольников с общим основанием (диагональю).
2. Построим отрезок AC длиной d.
3. Из точки A проведем окружность радиусом a.
4. Из точки C проведем окружность радиусом a.
5. Эти окружности пересекутся в двух точках, которые являются двумя другими вершинами ромба, — B и D.
6. Соединим последовательно точки A, B, C, D.

Ответ:

Четырехугольник ABCD — искомый ромб, так как все его стороны равны a, а одна из диагоналей равна d.

г) его диагоналям

Пусть заданы диагонали d₁ и d₂. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам.

1. Построим отрезок AC длиной d₁.
2. Построим серединный перпендикуляр к отрезку AC. Пусть O — середина AC.
3. На серединном перпендикуляре отложим от точки O в обе стороны отрезки OB и OD, равные d₂/2.
4. Соединим последовательно точки A, B, C, D.

Ответ:

Четырехугольник ABCD — искомый ромб, так как его диагонали взаимно перпендикулярны и равны d₁ и d₂.

д) его диагонали и высоте

Пусть заданы диагональ d и высота h. Высота ромба — это расстояние между его параллельными сторонами.

1. Построим прямую l.
2. Построим прямую m, параллельную l, на расстоянии h от нее.
3. Выберем произвольную точку A на прямой m.
4. Проведем окружность с центром в A и радиусом d. Она пересечет прямую l в точке C (построение возможно, если $d \ge h$).
5. Вершины B и D лежат на серединном перпендикуляре к отрезку AC. Построим этот перпендикуляр p.
6. Вершина B лежит на прямой m, а вершина D — на прямой l.
7. Точка пересечения прямых p и m есть вершина B.
8. Точка пересечения прямых p и l есть вершина D.
9. Соединим последовательно точки A, B, C, D.

Ответ:

Построенный четырехугольник ABCD — искомый ромб.

е) его углу и диагонали, выходящей из вершины этого угла

Пусть задан угол α и диагональ d, выходящая из вершины этого угла.

1. Пусть в ромбе ABCD угол ∠A = α и диагональ AC = d. Диагональ ромба является биссектрисой его угла, поэтому $∠BAC = ∠DAC = α/2$.
2. Треугольник ABC — равнобедренный (AB = BC), поэтому углы при основании равны: $∠BAC = ∠BCA = α/2$.
3. Построим треугольник ABC по стороне AC и двум прилежащим углам.
4. Построим отрезок AC длиной d.
5. Построим угол α и разделим его пополам, чтобы получить угол α/2.
6. От отрезка AC в точке A отложим угол, равный α/2.
7. От отрезка AC в точке C (с той же стороны) отложим угол, равный α/2.
8. Точка пересечения построенных лучей даст вершину B.
9. Аналогично построим вершину D с другой стороны от AC (или просто отразим точку B относительно прямой AC).
10. Соединим точки A, B, C, D.

Ответ:

Построенный четырехугольник ABCD — искомый ромб.

ж) его углу и высоте

Пусть заданы угол α и высота h.

1. Построим прямую l.
2. Построим прямую m, параллельную l, на расстоянии h. Противоположные стороны ромба будут лежать на этих прямых.
3. Выберем произвольную точку A на прямой m.
4. Построим луч, выходящий из точки A и образующий с прямой m угол α, так, чтобы он пересекал прямую l. Точку пересечения назовем D.
5. Отрезок AD — это сторона ромба. Обозначим ее длину как a.
6. Теперь задача сводится к построению по стороне и углу (пункт а). На прямой m отложим от точки A отрезок AB длиной a.
7. Через точку B проведем прямую, параллельную AD, а через точку D — прямую, параллельную AB. Их пересечение даст вершину C.
8. Соединим точки A, B, C, D.

Ответ:

Построенный четырехугольник ABCD — искомый ромб.

з) сумме его диагоналей и углу между диагональю и стороной

Пусть задана сумма диагоналей $S = d_1 + d_2$ и угол β между диагональю и стороной. Пусть O — точка пересечения диагоналей ромба ABCD. Тогда в прямоугольном треугольнике AOB катеты равны $AO = d_1/2$ и $BO = d_2/2$, а острый угол $∠OAB = β$. Сумма катетов $AO+BO = S/2$.

Анализ: На продолжении катета AO за точку O отложим отрезок OK = BO. Тогда $AK = AO+OK = AO+BO = S/2$. Треугольник BOK — равнобедренный прямоугольный, значит $∠AKB = 45°$. Таким образом, можно построить треугольник ABK по стороне $AK=S/2$ и двум прилежащим углам $∠A = β$ и $∠K = 45°$.

Построение:

1. Построим отрезок AK длиной S/2.
2. В точке A отложим от AK угол, равный β.
3. В точке K отложим от AK (в ту же полуплоскость) угол, равный 45°.
4. Точка пересечения построенных лучей даст вершину B.
5. Из точки B опустим перпендикуляр на прямую AK. Основание перпендикуляра — это центр ромба O.
6. Теперь у нас есть отрезки AO и BO — половины диагоналей.
7. На луче AO отложим отрезок OC = AO.
8. На луче BO отложим отрезок OD = BO.
9. Соединим точки A, B, C, D.

Ответ:

Построенный четырехугольник ABCD — искомый ромб.

и) одному из его углов и сумме диагонали со стороной

Пусть задан угол α и сумма $S = a + d_1$, где a — сторона, d₁ — диагональ, выходящая из вершины этого угла. Пусть $∠A = α$, $AC=d_1$.

Анализ: На продолжении диагонали CA за точку A отложим отрезок AK = a. Тогда $CK = CA + AK = d_1 + a = S$. Треугольник KAB равнобедренный (AK=AB=a). Внешний угол $∠CAB = α/2$. Тогда $∠AKB = ∠ABK = (α/2)/2 = α/4$. В треугольнике KBC известны сторона CK=S, прилежащий угол $∠BCK=∠BCA=α/2$ и противолежащий угол $∠BKC=α/4$.

Построение:

1. Построим отрезок CK длиной S.
2. Построим углы α/2 и α/4 (путем последовательного деления пополам угла α).
3. В точке C отложим угол ∠KCB = α/2.
4. Построим вспомогательный треугольник по стороне CK=S, углу при C и углу при K. Для этого в точке K отложим угол $∠CKB = α/4$.
5. Точка пересечения лучей даст вершину B.
6. Теперь нужно найти вершину A. Она лежит на отрезке CK, и при этом AB=AK. Значит, точка A равноудалена от K и B.
7. Построим серединный перпендикуляр к отрезку KB. Его точка пересечения с отрезком CK и будет вершиной A.
8. Теперь, зная вершины A, B, C, завершаем построение ромба (например, находя D как пересечение окружностей радиуса a=AB с центрами в A и C).

Ответ:

Построенный четырехугольник ABCD — искомый ромб.

к) одному из его углов и разности диагонали со стороной

Пусть задан угол α и разность $D = |d_1 - a|$. Рассмотрим случай $D = d_1 - a$. Пусть $∠A = α$, $AC=d_1$.

Анализ: На диагонали AC отложим отрезок AK = a. Тогда $KC = AC - AK = d_1 - a = D$. Треугольник ABK равнобедренный (AB=AK=a). $∠BAK = ∠BAC = α/2$. Тогда $∠AKB = (180° - α/2)/2 = 90° - α/4$. Угол $∠BKC = 180° - ∠AKB = 90° + α/4$. В треугольнике BKC известна сторона KC=D и два прилежащих угла: $∠KCB = ∠BCA = α/2$ и $∠BKC = 90° + α/4$.

Построение:

1. Построим отрезок KC длиной D.
2. Построим необходимые углы: α/2 и $90° + α/4$.
3. В точке K отложим угол $∠CKB = 90° + α/4$.
4. В точке C отложим угол $∠KCB = α/2$.
5. Пересечение лучей даст вершину B.
6. Вершина A лежит на продолжении отрезка CK за точку K, причем AK=AB. Длина стороны ромба равна длине отрезка BC.
7. Проведем луч CK. На нем от точки K в сторону от C отложим отрезок KA, равный BC.
8. Имея вершины A, B, C, завершаем построение ромба.

Ответ:

Построенный четырехугольник ABCD — искомый ромб.

л) его стороне и сумме диагоналей

Пусть задана сторона a и сумма диагоналей $S = d_1 + d_2$. Пусть половины диагоналей $x=d_1/2, y=d_2/2$. Имеем систему: $x+y=S/2$ и $x^2+y^2=a^2$. Отсюда $|x-y| = \sqrt{2a^2 - S^2/4}$. Построение возможно, если $2a^2 \ge S^2/4$.

1. Построим отрезок $L = \sqrt{2a^2 - S^2/4}$. Для этого построим прямоугольный треугольник с гипотенузой $\sqrt{2}a$ (диагональ квадрата со стороной a) и катетом $S/2$. Второй катет будет равен L.
2. Теперь мы знаем сумму $x+y = S/2$ и разность $|x-y| = L$.
3. Отсюда находим $x = (S/2 + L)/2$ и $y = (S/2 - L)/2$. Эти отрезки можно построить, складывая/вычитая отрезки S/2 и L и деля результат пополам.
4. Получив половины диагоналей x и y, строим ромб, как в пункте г).

Ответ:

Построенный ромб имеет заданные параметры.

м) его стороне и разности диагоналей

Пусть задана сторона a и разность диагоналей $D = |d_1 - d_2|$. Пусть $x=d_1/2, y=d_2/2$. Имеем систему: $|x-y|=D/2$ и $x^2+y^2=a^2$.

Анализ: Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами x, y и гипотенузой a. На большем катете отложим меньший. Разница составит $D/2$. Пусть $PQR$ — такой треугольник ($∠Q=90°, PQ=x, QR=y, PR=a$). На PQ отложим $QS=QR=y$. Тогда $PS=x-y=D/2$. В равнобедренном прямоугольном треугольнике SQR $∠QSR = 45°$, тогда смежный с ним $∠PSR=135°$. В треугольнике PSR известны две стороны PS=D/2, PR=a и угол между ними $∠PSR=135°$.

Построение:

1. Построим отрезок PS длиной D/2.
2. В точке S построим угол 135°.
3. Проведем окружность с центром в P и радиусом a. Точка ее пересечения с лучом, построенным в шаге 2, будет вершиной R.
4. Теперь, имея треугольник PSR, найдем точку Q. Опустим перпендикуляр из R на прямую PS. Основание перпендикуляра и есть точка Q.
5. Отрезки PQ и RQ — это половины диагоналей ромба (x и y).
6. Имея половины диагоналей, строим ромб, как в пункте г).

Ответ:

Построенный ромб имеет заданные параметры.

н) сумме его диагоналей и углу между диагональю и стороной

Это задание полностью совпадает с заданием в пункте з).

Ответ:

Решение приведено в пункте з).

о) его стороне и радиусу вписанной окружности

Пусть задана сторона a и радиус вписанной окружности r. Высота ромба h равна диаметру вписанной окружности, т.е. $h = 2r$. Задача сводится к построению ромба по стороне и высоте.

1. Построим отрезок длиной $h = 2r$.
2. Построим прямую l и параллельную ей прямую m на расстоянии h.
3. Выберем на прямой m произвольную точку A.
4. Проведем окружность с центром в A и радиусом a. Точка пересечения окружности с прямой l будет вершиной D (построение возможно, если $a \ge h$).
5. Отрезок AD — сторона ромба.
6. На прямой m отложим от точки A отрезок AB, равный a.
7. На прямой l отложим от точки D отрезок DC, равный a и параллельный AB.
8. Соединим точки A, B, C, D.

Ответ:

Построенный четырехугольник ABCD — искомый ромб.