Номер 732, страница 215 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

732. Постройте точку, из которой:

а) один из данных отрезков виден под одним данным углом, а другой — под другим;

б) стороны данного треугольника видны под равными углами.

а) один из данных отрезков виден под одним данным углом, а другой — под другим;

Пусть даны два отрезка, $AB$ и $CD$, и два угла, $\alpha$ и $\beta$. Требуется построить точку $M$, из которой отрезок $AB$ виден под углом $\alpha$, а отрезок $CD$ — под углом $\beta$. Это означает, что $\angle AMB = \alpha$ и $\angle CMD = \beta$.

Решение основано на использовании геометрического места точек (ГМТ), из которых данный отрезок виден под заданным углом. Таким ГМТ является пара дуг окружностей, проходящих через концы отрезка.

Построение выполняется в несколько шагов:

1. Построение ГМТ для отрезка $AB$ и угла $\alpha$.
   1. В точке $A$ на прямой $AB$ строим луч $AT$ так, чтобы угол между лучом $AT$ и отрезком $AB$ был равен $\alpha$. Прямая, содержащая $AT$, будет касательной к искомой окружности в точке $A$.
   2. Проводим прямую $l$, перпендикулярную $AT$ в точке $A$. Центр искомой окружности лежит на этой прямой $l$.
   3. Строим серединный перпендикуляр к отрезку $AB$. Центр окружности также лежит на этой прямой.
   4. Точка пересечения $O_1$ прямой $l$ и серединного перпендикуляра является центром одной из дуг.
   5. Строим дугу с центром $O_1$ и радиусом $R_1 = O_1A$.
   6. Строим вторую дугу, симметричную первой относительно прямой $AB$. Вместе эти две дуги образуют ГМТ $L_1$ — множество всех точек, из которых отрезок $AB$ виден под углом $\alpha$.
2. Построение ГМТ для отрезка $CD$ и угла $\beta$.
   1. Аналогично шагу 1, строим ГМТ $L_2$ — пару дуг окружностей на хорде $CD$, из которых отрезок $CD$ виден под углом $\beta$.
3. Нахождение искомой точки.
   1. Искомая точка $M$ должна удовлетворять обоим условиям, то есть принадлежать как $L_1$, так и $L_2$.
   2. Следовательно, искомые точки — это точки пересечения построенных ГМТ ($L_1 \cap L_2$).
   3. В зависимости от взаимного расположения отрезков и величин углов, может существовать от 0 до 8 таких точек пересечения. Любая из них является решением задачи.

Ответ: Искомая точка является точкой пересечения двух геометрических мест точек: ГМТ, из которых первый отрезок виден под первым данным углом, и ГМТ, из которых второй отрезок виден под вторым данным углом. Каждое такое ГМТ представляет собой пару дуг окружностей.

б) стороны данного треугольника видны под равными углами.

Пусть дан треугольник $ABC$. Требуется построить точку $P$, из которой все три его стороны видны под равными углами. Это означает, что $\angle APB = \angle BPC = \angle CPA$.

Поскольку сумма углов вокруг точки $P$ составляет $360^\circ$, то каждый из этих углов должен быть равен $360^\circ / 3 = 120^\circ$. Таким образом, задача сводится к нахождению точки $P$, для которой $\angle APB = 120^\circ$ и $\angle BPC = 120^\circ$. Если эти два условия выполнены, то третье условие, $\angle CPA = 120^\circ$, будет выполняться автоматически ($360^\circ - 120^\circ - 120^\circ = 120^\circ$).

Эта задача является частным случаем задачи из пункта а). Мы ищем пересечение двух ГМТ.

Построение (предполагается, что все углы треугольника меньше $120^\circ$):

1. Построение ГМТ для стороны $AB$ под углом $120^\circ$.
   1. Построим на стороне $AB$ (внешним по отношению к треугольнику образом) равносторонний треугольник $ABD$.
   2. Опишем окружность вокруг треугольника $ABD$. Точки дуги этой окружности, которая лежит в одной полуплоскости с вершиной $C$ относительно прямой $AB$, видят отрезок $AB$ под углом $120^\circ$ (так как вписанный угол $\angle ADB=60^\circ$ опирается на другую дугу). Эта дуга и является первым искомым ГМТ.
2. Построение ГМТ для стороны $BC$ под углом $120^\circ$.
   1. Аналогично, строим на стороне $BC$ (внешним образом) равносторонний треугольник $BCE$.
   2. Опишем окружность вокруг треугольника $BCE$. Дуга этой окружности, находящаяся в той же полуплоскости, что и вершина $A$ относительно прямой $BC$, является вторым искомым ГМТ.
3. Нахождение искомой точки.
   1. Искомая точка $P$ — это точка пересечения двух построенных дуг окружностей.
   2. Одна точка пересечения описанных окружностей — это вершина $B$. Вторая точка пересечения (обозначим её $P$) и есть искомая точка. Эта точка известна как точка Ферма или точка Торричелли треугольника.

Примечание: Если один из углов треугольника $ABC$ равен или больше $120^\circ$ (например, $\angle C \ge 120^\circ$), то искомой точкой является вершина $C$.

Ответ: Искомая точка (точка Ферма) находится как пересечение двух дуг окружностей. Первая дуга строится на стороне $AB$ и является ГМТ, из которого $AB$ виден под углом $120^\circ$. Вторая дуга строится на стороне $BC$ и является ГМТ, из которого $BC$ виден под углом $120^\circ$.