Номер 725, страница 214 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

725. Постройте окружность, которая:

а) касается трех данных равных окружностей;

б) касается трех данных прямых;

в) касается двух данных прямых и проходит через данную точку;

г) касается двух данных параллельных прямых и данной окружности;

д) касается двух данных параллельных прямых и третьей прямой, пересекающей первые две;

е) описана около данной равнобедренной трапеции.

а) касается трех данных равных окружностей;

Пусть даны три равные окружности $C_1, C_2, C_3$ с центрами в точках $O_1, O_2, O_3$ и одинаковым радиусом $r$. Искомая окружность $C$ имеет центр $O$ и радиус $R$. Существует два основных случая касания: внешнее (когда искомая окружность касается всех данных извне) и внутреннее (когда искомая окружность содержит в себе все три данные окружности и касается их).

Случай 1: Внешнее касание.
Если окружность $C$ касается окружности $C_1$ внешним образом, то расстояние между их центрами равно сумме их радиусов: $OO_1 = R + r$. Аналогично, $OO_2 = R + r$ и $OO_3 = R + r$. Это означает, что центр $O$ искомой окружности равноудален от центров $O_1, O_2, O_3$ данных окружностей. Следовательно, точка $O$ является центром окружности, описанной около треугольника $O_1O_2O_3$.

Случай 2: Внутреннее касание.
Если окружность $C$ касается окружности $C_1$ внутренним образом, то расстояние между их центрами равно разности их радиусов: $OO_1 = R - r$. Аналогично для $C_2$ и $C_3$. В этом случае центр $O$ также является центром окружности, описанной около треугольника $O_1O_2O_3$.

Построение:

1. Соединяем центры $O_1, O_2, O_3$ данных окружностей, получая треугольник $O_1O_2O_3$. (Предполагается, что центры не лежат на одной прямой).
2. Строим серединные перпендикуляры к двум любым сторонам этого треугольника (например, к $O_1O_2$ и $O_2O_3$).
3. Точка пересечения этих перпендикуляров является центром $O$ искомой окружности.
4. Для построения окружности с внешним касанием, измеряем расстояние от центра $O$ до любого из центров данных окружностей (например, $OO_1$) и вычитаем из него радиус $r$. Полученный отрезок $R = OO_1 - r$ будет радиусом искомой окружности.
5. Для построения окружности с внутренним касанием, измеряем расстояние $OO_1$ и прибавляем к нему радиус $r$. Полученный отрезок $R = OO_1 + r$ будет радиусом искомой окружности.
6. Строим окружность с центром $O$ и найденным радиусом $R$.

Ответ: В общем случае существуют две такие окружности (одна касается всех извне, другая — изнутри). Их общий центр совпадает с центром окружности, описанной около треугольника, образованного центрами трех данных окружностей.

б) касается трех данных прямых;

Центр окружности, касающейся трех прямых, должен быть равноудален от этих прямых.

Случай 1: Прямые попарно пересекаются, образуя треугольник.
В этом случае существует четыре таких окружности. Одна — вписанная в треугольник, и три — вневписанные. Центр вписанной окружности (инцентр) лежит на пересечении биссектрис внутренних углов треугольника. Центры вневписанных окружностей (эксцентры) лежат на пересечении биссектрисы одного внутреннего угла и двух биссектрис внешних углов.

Построение вписанной окружности:

1. Находим вершины $A, B, C$ треугольника, образованного пересечением прямых.
2. Строим биссектрисы двух любых внутренних углов треугольника (например, $\angle A$ и $\angle B$).
3. Точка их пересечения $I$ является центром искомой окружности.
4. Для нахождения радиуса опускаем перпендикуляр из точки $I$ на любую из трех прямых. Длина этого перпендикуляра и будет радиусом $r$.
5. Строим окружность с центром $I$ и радиусом $r$.

Случай 2: Две прямые параллельны, а третья их пересекает.
Пусть прямые $l_1$ и $l_2$ параллельны, а прямая $l_3$ их пересекает. Центр искомой окружности должен быть равноудален от $l_1$ и $l_2$, а значит, он лежит на средней линии $m$, параллельной $l_1$ и $l_2$. Также центр должен быть равноудален от $l_1$ и $l_3$ (и от $l_2$ и $l_3$), следовательно, он лежит на биссектрисе угла, образованного этими прямыми. Таких окружностей будет две.

Построение:

1. Строим прямую $m$, параллельную $l_1$ и $l_2$ и проходящую посередине между ними.
2. Строим биссектрисы углов, образованных пересечением прямой $l_3$ с одной из параллельных прямых (например, $l_1$).
3. Точки пересечения этих биссектрис с прямой $m$ будут центрами $O_1$ и $O_2$ искомых окружностей.
4. Радиус каждой окружности равен половине расстояния между параллельными прямыми $l_1$ и $l_2$.
5. Строим две окружности с центрами $O_1, O_2$ и найденным радиусом.

Ответ: Если прямые образуют треугольник, существует 4 решения (одна вписанная и три вневписанные окружности). Если две прямые параллельны, а третья их пересекает, существует 2 решения.

в) касается двух данных прямых и проходит через данную точку;

Пусть даны прямые $l_1, l_2$ и точка $P$. Центр $O$ искомой окружности должен быть равноудален от прямых $l_1$ и $l_2$, следовательно, он лежит на одной из биссектрис углов, образованных этими прямыми. Также, так как окружность проходит через точку $P$, расстояние от центра $O$ до точки $P$ должно быть равно радиусу окружности, а радиус равен расстоянию от $O$ до любой из прямых. То есть $OP = d(O, l_1)$.

Случай 1: Прямые пересекаются.
Задача решается методом гомотетии (подобия).

Построение:

1. Пусть прямые $l_1, l_2$ пересекаются в точке $V$. Строим одну из биссектрис $b$ угла между ними.
2. На этой биссектрисе $b$ выбираем произвольную точку $O'$ и строим вспомогательную окружность с центром $O'$, касающуюся прямых $l_1$ и $l_2$.
3. Проводим луч $VP$. Он пересечет вспомогательную окружность в одной или двух точках. Пусть это точки $P'_1$ и $P'_2$.
4. Через данную точку $P$ проводим прямую, параллельную отрезку $O'P'_1$. Точка пересечения этой прямой с биссектрисой $b$ даст нам центр $O_1$ первой искомой окружности.
5. Аналогично, прямая через $P$, параллельная $O'P'_2$, даст центр $O_2$ второй окружности.
6. Радиусом каждой окружности будет расстояние от ее центра до точки $P$. Строим окружности.
7. Повторив построение для второй биссектрисы, можно найти еще решения.

Случай 2: Прямые параллельны.

Построение:

1. Центр искомой окружности лежит на средней линии $m$ между $l_1$ и $l_2$.
2. Радиус $R$ искомой окружности известен — он равен половине расстояния между $l_1$ и $l_2$.
3. Так как окружность проходит через точку $P$, ее центр $O$ должен находиться на расстоянии $R$ от точки $P$. Геометрическое место таких точек — окружность с центром в $P$ и радиусом $R$.
4. Искомые центры — это точки пересечения прямой $m$ и окружности с центром $P$ и радиусом $R$. Таких точек может быть ноль, одна или две.

Ответ: Для пересекающихся прямых задача может иметь до четырех решений, для параллельных — до двух. Построение основано на методе подобия или нахождении пересечения прямой и окружности.

г) касается двух данных параллельных прямых и данной окружности;

Пусть даны параллельные прямые $l_1, l_2$ и окружность $C_{in}$ с центром $O_{in}$ и радиусом $r_{in}$.

Анализ и построение:

1. Центр $O$ искомой окружности должен лежать на средней линии $m$ прямых $l_1$ и $l_2$.
2. Радиус $R$ искомой окружности определен однозначно и равен половине расстояния между $l_1$ и $l_2$.
3. Искомая окружность $C$ должна касаться данной окружности $C_{in}$. Это возможно двумя способами:
   • Внешнее касание: Расстояние между центрами $OO_{in}$ равно сумме радиусов $R + r_{in}$.
   • Внутреннее касание: Расстояние между центрами $OO_{in}$ равно модулю разности радиусов $|R - r_{in}|$.
4. Чтобы найти центр $O$, нужно найти точки на прямой $m$, удаленные от точки $O_{in}$ на расстояние $R + r_{in}$ или $|R - r_{in}|$.
5. Для этого строим две вспомогательные окружности с центром в точке $O_{in}$ и радиусами $R+r_{in}$ и $|R - r_{in}|$.
6. Точки пересечения этих двух окружностей с прямой $m$ и будут искомыми центрами. В общем случае может быть до четырех решений (две точки пересечения для каждой вспомогательной окружности).
7. Строим искомые окружности с найденными центрами и радиусом $R$.

Ответ: Задача может иметь до четырех решений. Центры искомых окружностей лежат на средней линии между параллельными прямыми и находятся как точки пересечения этой линии с двумя окружностями, построенными из центра данной окружности.

д) касается двух данных параллельных прямых и третьей прямой, пересекающей первые две;

Это частный случай задачи (б). Пусть даны параллельные прямые $l_1, l_2$ и пересекающая их прямая $l_3$.

Анализ и построение:

1. Центр $O$ искомой окружности лежит на средней линии $m$ между прямыми $l_1$ и $l_2$.
2. Радиус $R$ искомой окружности равен половине расстояния между $l_1$ и $l_2$.
3. Так как окружность касается прямой $l_3$, расстояние от ее центра $O$ до прямой $l_3$ должно быть равно радиусу $R$, то есть $d(O, l_3) = R$.
4. Геометрическое место точек, удаленных от прямой $l_3$ на расстояние $R$, — это две прямые, $l'_3$ и $l''_3$, параллельные $l_3$ и расположенные по разные стороны от нее.
5. Центры искомых окружностей — это точки пересечения средней линии $m$ с прямыми $l'_3$ и $l''_3$. Таких точек будет две.
6. Строим окружности с найденными центрами и радиусом $R$.

Ответ: Существует две такие окружности. Их центры лежат на средней линии параллельных прямых в точках, удаленных от третьей прямой на расстояние, равное радиусу.

е) описана около данной равнобедренной трапеции.

Вокруг четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его противолежащих углов равна $180^\circ$. В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны, а сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна $180^\circ$. Отсюда следует, что сумма противолежащих углов также равна $180^\circ$. Таким образом, вокруг любой равнобедренной трапеции можно описать окружность.

Центр описанной окружности (циркумцентр) — это точка, равноудаленная от всех вершин многоугольника. Она лежит на пересечении серединных перпендикуляров к его сторонам.

Построение:

1. Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$.
2. Строим серединный перпендикуляр к одной из ее сторон (например, к боковой стороне $AB$).
3. Строим серединный перпендикуляр к другой стороне (например, к основанию $BC$).
4. Точка $O$, в которой пересекаются эти два перпендикуляра, является центром искомой описанной окружности. (Примечание: серединный перпендикуляр к основаниям равнобедренной трапеции совпадает с ее осью симметрии, и центр описанной окружности всегда лежит на этой оси).
5. Радиус окружности $R$ равен расстоянию от центра $O$ до любой из вершин трапеции (например, $R=OA$).
6. Строим окружность с центром $O$ и радиусом $R$.

Ответ: Окружность, описанная около равнобедренной трапеции, существует всегда. Ее центр находится в точке пересечения серединных перпендикуляров к любым двум сторонам трапеции.