Номер 720, страница 213 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

720. Постройте равнобедренный треугольник по его:

а) высоте, проведенной к основанию, и углу при вершине;

б) основанию и высоте, проведенной к боковой стороне.

а)

Задача: Построить равнобедренный треугольник по его высоте, проведенной к основанию, и углу при вершине.

Пусть нам даны отрезок $h$, равный высоте, проведенной к основанию, и угол $\beta$, равный углу при вершине.

Анализ

Пусть $ABC$ — искомый равнобедренный треугольник с основанием $AC$ и вершиной $B$. Высота $BH$, проведенная из вершины $B$ к основанию $AC$, в равнобедренном треугольнике является также биссектрисой угла при вершине и медианой к основанию. Это означает, что:

• $BH \perp AC$
• $H$ — середина отрезка $AC$
• $BH$ делит угол $\angle ABC$ пополам, то есть $\angle ABH = \angle CBH = \beta / 2$.

Таким образом, мы можем построить прямоугольный треугольник $ABH$. Мы знаем длину катета $BH = h$ и прилежащий к нему острый угол $\angle ABH = \beta / 2$. Построив $\triangle ABH$, мы легко найдем вершину $C$, так как $\triangle CBH$ будет конгруэнтен $\triangle ABH$.

Построение

1. Проведем произвольную прямую $l$. Выберем на ней произвольную точку $H$. Эта прямая будет содержать основание треугольника.
2. Через точку $H$ проведем прямую $m$, перпендикулярную прямой $l$.
3. На прямой $m$ отложим от точки $H$ отрезок $BH$, равный данной высоте $h$. Точка $B$ будет вершиной искомого треугольника.
4. Построим угол, равный данному углу $\beta$. Затем с помощью циркуля и линейки построим его биссектрису, чтобы получить угол, равный $\beta / 2$.
5. От луча $HB$ в разные полуплоскости относительно прямой $m$ отложим два угла, равные $\beta / 2$: $\angle AHB'$ и $\angle CHB''$. Лучи $BA$ и $BC$ этих углов пересекут прямую $l$ в точках $A$ и $C$ соответственно.
6. Соединим точки $A$, $B$ и $C$. Полученный треугольник $ABC$ — искомый.

Доказательство

В построенном треугольнике $ABC$ отрезок $BH$ является высотой к стороне $AC$ по построению, и его длина равна $h$. Угол при вершине $\angle ABC = \angle ABH + \angle CBH = \beta / 2 + \beta / 2 = \beta$. Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle AHB$ и $\triangle CHB$. У них общий катет $BH$, и прилежащие острые углы $\angle ABH$ и $\angle CBH$ равны $\beta / 2$ по построению. Следовательно, $\triangle AHB \cong \triangle CHB$ (по катету и прилежащему острому углу). Из конгруэнтности треугольников следует равенство гипотенуз: $AB = CB$. Таким образом, треугольник $ABC$ является равнобедренным с заданными высотой к основанию и углом при вершине.

Ответ: Треугольник построен в соответствии с приведенным алгоритмом.

б)

Задача: Построить равнобедренный треугольник по его основанию и высоте, проведенной к боковой стороне.

Пусть нам даны отрезок $a$, равный основанию, и отрезок $h_l$, равный высоте, проведенной к боковой стороне.

Анализ

Пусть $ABC$ — искомый равнобедренный треугольник с основанием $AC = a$ и боковыми сторонами $AB = BC$. Пусть $AH$ — высота, проведенная из вершины $A$ к боковой стороне $BC$. Тогда $AH = h_l$ и $\angle AHC = 90^\circ$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $AHC$. В нем известны гипотенуза $AC = a$ и катет $AH = h_l$. Мы можем построить этот треугольник. После построения $\triangle AHC$ у нас будут определены вершины $A$ и $C$, а также прямая, на которой лежит боковая сторона $BC$ (это прямая $CH$). Вершина $B$ искомого треугольника должна лежать на этой прямой $CH$. Кроме того, так как треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AC$, то вершина $B$ должна быть равноудалена от точек $A$ и $C$. Геометрическое место точек, равноудаленных от концов отрезка, — это его серединный перпендикуляр. Следовательно, вершина $B$ является точкой пересечения прямой $CH$ и серединного перпендикуляра к отрезку $AC$. Построение возможно только в том случае, если катет $h_l$ не больше гипотенузы $a$, то есть $h_l \le a$.

Построение

1. Отложим отрезок $AC$, равный данной длине основания $a$.
2. Построим прямоугольный треугольник $AHC$ по гипотенузе $AC$ и катету $AH = h_l$. Для этого:
   1. Найдем середину отрезка $AC$ и построим окружность, для которой $AC$ является диаметром.
   2. Из точки $A$ как из центра проведем окружность радиусом, равным высоте $h_l$.
   3. Точка пересечения этих двух окружностей даст нам вершину $H$. (Если $h_l < a$, будет две точки пересечения, симметричные относительно $AC$. Можно выбрать любую из них).
3. Проведем прямую через точки $C$ и $H$. На этой прямой лежит боковая сторона $BC$ и, следовательно, вершина $B$.
4. Построим серединный перпендикуляр к основанию $AC$.
5. Точка пересечения прямой $CH$ и серединного перпендикуляра является искомой вершиной $B$.
6. Соединим точки $A$, $B$ и $C$. Полученный треугольник $ABC$ — искомый.

Доказательство

В построенном треугольнике $ABC$ основание $AC$ равно $a$ по построению. Вершина $B$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $AC$, следовательно, $BA = BC$, и треугольник $ABC$ является равнобедренным. По построению точки $H$, угол $\angle AHC = 90^\circ$ (так как $H$ лежит на окружности с диаметром $AC$), и длина отрезка $AH$ равна $h_l$. Так как вершина $B$ лежит на прямой $CH$, отрезок $AH$ является перпендикуляром, опущенным из вершины $A$ на прямую $BC$, то есть $AH$ — высота треугольника. Таким образом, треугольник $ABC$ является равнобедренным с заданными основанием и высотой к боковой стороне.

Ответ: Треугольник построен в соответствии с приведенным алгоритмом.