Номер 722, страница 213 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

722. Постройте прямоугольный треугольник по его:

а) гипотенузе и сумме катетов;

б) гипотенузе и разности катетов;

в) острому углу и сумме катетов;

г) острому углу и разности катетов;

д) катету и разности гипотенузы и другого катета;

е) острому углу и сумме прилежащего катета и гипотенузы;

ж) острому углу и периметру.

а) по гипотенузе и сумме катетов

Пусть дан отрезок $c$, равный гипотенузе, и отрезок $s$, равный сумме катетов $a+b$. Требуется построить прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$.

Анализ:

Предположим, что искомый треугольник $ABC$ построен. На продолжении катета $AC$ за точку $C$ отложим отрезок $CD$, равный катету $CB$. Тогда $AD = AC + CD = AC + CB = b + a = s$. Треугольник $BCD$ — прямоугольный и равнобедренный ($CB=CD$, $\angle C = 90^\circ$), следовательно, $\angle CDB = 45^\circ$. Теперь рассмотрим треугольник $ABD$. В нем известны сторона $AD = s$, сторона $AB = c$ и угол $\angle ADB = 45^\circ$. Этот треугольник можно построить. После его построения, чтобы найти вершину $C$, достаточно опустить перпендикуляр из точки $B$ на прямую $AD$.

Построение:

1. Строим отрезок $AD$, равный данной сумме катетов $s$.
2. В точке $D$ строим угол, равный $45^\circ$. Пусть $DX$ — луч этого угла.
3. Из точки $A$ проводим дугу окружности радиусом, равным данной гипотенузе $c$.
4. Точка пересечения дуги и луча $DX$ будет вершиной $B$ искомого треугольника. (Задача имеет решение, если $c > s \cdot \sin 45^\circ$, т.е. $c > s/\sqrt{2}$).
5. Из точки $B$ опускаем перпендикуляр $BC$ на прямую $AD$.
6. Треугольник $ABC$ — искомый.

Доказательство:

В построенном треугольнике $ABC$ угол $\angle C$ прямой по построению. Гипотенуза $AB$ равна $c$ по построению. В треугольнике $BCD$ угол $\angle C$ прямой, а $\angle CDB = 45^\circ$, следовательно, $\angle CBD = 45^\circ$, и треугольник $BCD$ — равнобедренный, т.е. $BC = CD$. Сумма катетов $AC + BC = AC + CD = AD = s$. Таким образом, построенный треугольник удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: План построения: 1) Построить отрезок $AD=s$. 2) Построить угол $\angle ADX = 45^\circ$. 3) Построить окружность с центром $A$ и радиусом $c$. 4) Найти точку $B$ как пересечение луча $DX$ и окружности. 5) Опустить перпендикуляр $BC$ на $AD$. Треугольник $ABC$ — искомый.

б) по гипотенузе и разности катетов

Пусть дан отрезок $c$, равный гипотенузе, и отрезок $d$, равный разности катетов $|a-b|$. Пусть для определенности $a > b$, т.е. $d=a-b$. Требуется построить прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$.

Анализ:

Предположим, что искомый треугольник $ABC$ построен. На катете $BC$ отложим отрезок $CD$, равный катету $AC$. Тогда $BD = BC - CD = a - b = d$. Треугольник $ACD$ — прямоугольный равнобедренный ($\angle C=90^\circ, AC=CD$), значит, $\angle ADC = 45^\circ$. Тогда смежный с ним угол $\angle ADB = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$. Теперь рассмотрим треугольник $ABD$. В нем известны сторона $AB=c$, сторона $BD=d$ и угол $\angle ADB = 135^\circ$. Этот треугольник можно построить. Найдя вершину $A$, мы можем найти $C$, опустив перпендикуляр из $A$ на прямую $BD$.

Построение:

1. Строим отрезок $BD$, равный данной разности катетов $d$.
2. В точке $D$ строим угол, равный $135^\circ$. Пусть $DX$ — луч этого угла.
3. Из точки $B$ проводим дугу окружности радиусом, равным данной гипотенузе $c$.
4. Точка пересечения дуги и луча $DX$ будет вершиной $A$ искомого треугольника. (Задача имеет решение, если $c>d$).
5. Из точки $A$ опускаем перпендикуляр $AC$ на прямую $BD$.
6. Треугольник $ABC$ — искомый.

Доказательство:

В построенном треугольнике $ABC$ угол $\angle C$ прямой по построению. Гипотенуза $AB$ равна $c$ по построению. В треугольнике $ACD$ угол $\angle C$ прямой, а $\angle ADC = 180^\circ - \angle ADB = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$. Следовательно, треугольник $ACD$ равнобедренный, $AC=CD$. Разность катетов $BC - AC = BC - CD$. Так как $\angle ADB > 90^\circ$, основание перпендикуляра $C$ лежит на продолжении отрезка $BD$ за точку $D$. Значит, $BC = BD+DC = d+AC$. Отсюда $BC - AC = d$. Таким образом, построенный треугольник удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: План построения: 1) Построить отрезок $BD=d$. 2) Построить угол $\angle BDX = 135^\circ$. 3) Построить окружность с центром $B$ и радиусом $c$. 4) Найти точку $A$ как пересечение луча $DX$ и окружности. 5) Опустить перпендикуляр $AC$ на прямую $BD$. Треугольник $ABC$ — искомый.

в) по острому углу и сумме катетов

Пусть дан острый угол $\alpha$ и отрезок $s$, равный сумме катетов $a+b$. Пусть $\angle A = \alpha$.

Анализ:

Аналогично пункту а), предположим, что треугольник $ABC$ построен. На продолжении катета $AC$ отложим отрезок $CD=CB=a$. Тогда $AD = AC+CD = b+a = s$. В равнобедренном прямоугольном треугольнике $BCD$ угол $\angle D = 45^\circ$. Рассмотрим треугольник $ABD$. В нем известна сторона $AD = s$, прилежащий к ней угол $\angle A = \alpha$ и другой прилежащий угол $\angle D = 45^\circ$. Такой треугольник можно построить по стороне и двум прилежащим углам.

Построение:

1. Строим отрезок $AD$, равный $s$.
2. От луча $AD$ в одной полуплоскости строим угол $\angle DAX = \alpha$.
3. От луча $DA$ в той же полуплоскости строим угол $\angle ADY = 45^\circ$.
4. Точка пересечения лучей $AX$ и $DY$ есть вершина $B$.
5. Из точки $B$ опускаем перпендикуляр $BC$ на прямую $AD$.
6. Треугольник $ABC$ — искомый.

Доказательство:

$\angle C = 90^\circ$ и $\angle A = \alpha$ по построению. В $\triangle BCD$ $\angle C=90^\circ$ и $\angle D=45^\circ$, значит, он равнобедренный, $BC=CD$. Сумма катетов $AC+BC=AC+CD=AD=s$.

Ответ: План построения: 1) Построить отрезок $AD=s$. 2) Построить $\angle A=\alpha$ и $\angle D=45^\circ$ при стороне $AD$. 3) Найти точку $B$ как пересечение сторон этих углов. 4) Опустить перпендикуляр $BC$ на $AD$. Треугольник $ABC$ — искомый.

г) по острому углу и разности катетов

Пусть дан острый угол $\alpha$ и отрезок $d$, равный разности катетов $|a-b|$. Рассмотрим случай, когда $\alpha$ — это угол, прилежащий к большему катету, т.е. $\angle A = \alpha$ и $b>a$, $d=b-a$.

Анализ:

Предположим, треугольник $ABC$ построен. На большем катете $AC$ отложим отрезок $CD=CB=a$. Тогда $AD = AC-CD=b-a=d$. Треугольник $BCD$ — прямоугольный равнобедренный, откуда $\angle BDC = 45^\circ$. В треугольнике $ABD$ известны сторона $AD=d$ и два прилежащих угла: $\angle A = \alpha$ и $\angle ADB = 45^\circ$. Треугольник $ABD$ можно построить.

Построение:

1. Строим отрезок $AD$, равный $d$.
2. От луча $AD$ строим угол $\angle DAX = \alpha$.
3. От луча $DA$ строим угол $\angle ADY = 45^\circ$ (в той же полуплоскости).
4. Точка пересечения лучей $AX$ и $DY$ есть вершина $B$.
5. Из точки $B$ опускаем перпендикуляр $BC$ на прямую $AD$.
6. Треугольник $ABC$ — искомый.

Доказательство:

$\angle C = 90^\circ$ и $\angle A = \alpha$ по построению. В $\triangle BCD$ $\angle C=90^\circ$ и $\angle D=45^\circ$, значит, он равнобедренный, $BC=CD$. Разность катетов $AC-BC=AC-CD=AD=d$.

Ответ: План построения (для случая, когда $\alpha$ прилежит к большему катету): 1) Построить отрезок $AD=d$. 2) Построить $\angle A=\alpha$ и $\angle D=45^\circ$ при стороне $AD$. 3) Найти точку $B$ как пересечение сторон этих углов. 4) Опустить перпендикуляр $BC$ на прямую $AD$. Треугольник $ABC$ — искомый.

д) по катету и разности гипотенузы и другого катета

Пусть дан катет $b$ и разность $d=c-a$.

Анализ:

Предположим, треугольник $ABC$ построен. На продолжении катета $BC$ за точку $C$ отложим отрезок $CD=d$. Тогда $BD = BC+CD=a+d = a+(c-a)=c$. Таким образом, $BD=AB=c$, и треугольник $ABD$ — равнобедренный. В этом треугольнике основанием является $AD$. Точка $B$ равноудалена от $A$ и $D$, значит, лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $AD$. Точка $C$ лежит на прямой $BD$, и $AC \perp BC$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACD$. В нем известны катеты $AC=b$ и $CD=d$. Его можно построить.

Построение:

1. Строим две перпендикулярные прямые, пересекающиеся в точке $C$.
2. На одной прямой откладываем отрезок $CA=b$.
3. На другой прямой откладываем отрезок $CD=d$.
4. Соединяем точки $A$ и $D$.
5. Строим серединный перпендикуляр к отрезку $AD$.
6. Точка пересечения этого перпендикуляра с прямой $CD$ есть вершина $B$.
7. Треугольник $ABC$ — искомый.

Доказательство:

По построению $\triangle ABC$ прямоугольный, и катет $AC=b$. Точка $B$ лежит на серединном перпендикуляре к $AD$, поэтому $AB=BD$. $BD = BC+CD = a+d$. Значит, $c = AB = a+d$, откуда $c-a=d$.

Ответ: План построения: 1) Построить прямой угол $C$. 2) На его сторонах отложить отрезки $CA=b$ и $CD=d$. 3) Построить серединный перпендикуляр к отрезку $AD$. 4) Найти точку $B$ как пересечение этого перпендикуляра и прямой $CD$. Треугольник $ABC$ — искомый.

е) по острому углу и сумме прилежащего катета и гипотенузы

Пусть дан угол $\angle A=\alpha$ и сумма $s=b+c$.

Анализ:

Предположим, треугольник $ABC$ построен. На продолжении катета $AC$ за точку $A$ отложим отрезок $AD=AB=c$. Тогда $DC = DA+AC=c+b=s$. Треугольник $ABD$ — равнобедренный ($AD=AB$), и его внешний угол при вершине $A$ равен $\angle CAB = \alpha$. Сумма углов при основании $DB$ равна этому внешнему углу, т.е. $\angle ADB + \angle ABD = \alpha$. Так как $\angle ADB=\angle ABD$, то $\angle ADB = \alpha/2$. Теперь рассмотрим треугольник $DBC$. В нем известна сторона $DC=s$, угол $\angle D=\alpha/2$ и угол $\angle C=90^\circ$. Этот треугольник можно построить.

Построение:

1. Строим отрезок $DC=s$.
2. В точке $C$ восстанавливаем перпендикуляр $CX$ к отрезку $DC$.
3. В точке $D$ строим угол $\angle CDY = \alpha/2$ так, чтобы луч $DY$ пересек луч $CX$.
4. Точка пересечения лучей $CX$ и $DY$ есть вершина $B$.
5. Мы получили треугольник $DBC$. Теперь нужно найти вершину $A$ на отрезке $DC$. По построению в анализе $A$ такова, что $AB=AD$. Значит, $A$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $DB$.
6. Строим серединный перпендикуляр к отрезку $DB$. Точка его пересечения с отрезком $DC$ есть искомая вершина $A$.
7. Треугольник $ABC$ — искомый.

Доказательство:

$\angle C=90^\circ$ по построению. Точка $A$ лежит на серединном перпендикуляре к $DB$, значит $AD=AB$. Сумма катета и гипотенузы $AC+AB=AC+AD=CD=s$. Угол $\angle BAC$ является внешним для равнобедренного $\triangle ABD$, поэтому $\angle BAC = \angle ADB + \angle ABD$. Так как $\angle ADB=\alpha/2$ по построению, и $\angle ABD=\angle ADB$, то $\angle BAC = \alpha/2 + \alpha/2 = \alpha$.

Ответ: План построения: 1) Построить $\triangle DBC$ по катету $DC=s$ и прилежащему острому углу $\angle D = \alpha/2$. 2) Построить серединный перпендикуляр к $DB$. 3) Точка пересечения этого перпендикуляра с катетом $DC$ есть вершина $A$. Треугольник $ABC$ — искомый.

ж) по острому углу и периметру

Пусть дан угол $\angle A = \alpha$ и периметр $P=a+b+c$.

Анализ:

Предположим, треугольник $ABC$ построен. На прямой, содержащей катет $AC$, отложим от точки $C$ отрезок $CD=CB=a$, а от точки $A$ в противоположную сторону — отрезок $AE=AB=c$. Тогда длина отрезка $ED = EA+AC+CD = c+b+a = P$. Рассмотрим $\triangle EBD$. В нем сторона $ED=P$. Найдем углы при этой стороне. $\triangle BCD$ — равнобедренный ($CB=CD$), $\angle C=90^\circ$, значит, $\angle CDB = 45^\circ$. $\triangle ABE$ — равнобедренный ($AB=AE$), его внешний угол $\angle CAB=\alpha$, значит, углы при основании равны $\angle AEB = \angle ABE = \alpha/2$. Таким образом, в $\triangle EBD$ известна сторона $ED=P$ и два прилежащих к ней угла: $\angle E = \alpha/2$ и $\angle D = 45^\circ$.

Построение:

1. Строим отрезок $ED=P$.
2. От луча $ED$ строим угол $\angle DEX = \alpha/2$.
3. От луча $DE$ строим угол $\angle EDY = 45^\circ$ (в той же полуплоскости).
4. Точка пересечения лучей $EX$ и $DY$ есть вершина $B$.
5. Вершина $A$ лежит на $ED$ и является вершиной равнобедренного $\triangle ABE$. Значит, $A$ — точка пересечения серединного перпендикуляра к $EB$ с отрезком $ED$.
6. Вершина $C$ лежит на $ED$ и является вершиной равнобедренного $\triangle BCD$. Значит, $C$ — точка пересечения серединного перпендикуляра к $DB$ с отрезком $ED$.
7. Треугольник $ABC$ — искомый.

Доказательство:

Точка $A$ лежит на серединном перпендикуляре к $EB$, значит, $AE=AB$. Точка $C$ лежит на серединном перпендикуляре к $DB$, значит, $CD=CB$. Периметр $ABC$ равен $AB+BC+AC = AE+CD+AC = ED = P$. Угол $\angle BAC$ — внешний для $\triangle ABE$, он равен сумме двух внутренних, не смежных с ним: $\angle AEB + \angle ABE = \alpha/2+\alpha/2=\alpha$. В $\triangle BCD$ с основанием $BD$ углы при основании равны, так как $CB=CD$ по построению. Угол $\angle CDB=45^\circ$ по построению. Значит $\angle CBD$ тоже должен быть $45^\circ$. Тогда $\angle BCD = 180^\circ - (45^\circ+45^\circ) = 90^\circ$.

Ответ: План построения: 1) Построить отрезок $ED=P$. 2) При стороне $ED$ построить углы $\angle E = \alpha/2$ и $\angle D=45^\circ$. 3) Найти вершину $B$ как их пересечение. 4) Построить серединный перпендикуляр к $EB$, найти его пересечение $A$ с $ED$. 5) Построить серединный перпендикуляр к $DB$, найти его пересечение $C$ с $ED$. Треугольник $ABC$ — искомый.