Номер 724, страница 213 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

724. Постройте окружность данного радиуса, которая:

а) проходит через две данные точки;

б) проходит через данную точку и касается данной окружности;

в) проходит через данную точку и отсекает на данных пересекающихся прямых равные отрезки;

г) касается данной окружности и отсекает на данных пересекающихся прямых равные отрезки;

д) касается двух данных окружностей.

а) проходит через две данные точки

Пусть даны две точки $A$ и $B$ и радиус $R$. Центр искомой окружности $O$ должен быть равноудален от точек $A$ и $B$. Геометрическое место точек (ГМТ), равноудаленных от двух данных точек, есть серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти точки. Следовательно, центр $O$ должен лежать на серединном перпендикуляре к отрезку $AB$.

Кроме того, расстояние от центра $O$ до точки $A$ (и до точки $B$) должно быть равно заданному радиусу $R$, то есть $OA = R$. ГМТ, находящихся на расстоянии $R$ от точки $A$, есть окружность с центром в точке $A$ и радиусом $R$.

Таким образом, центр искомой окружности $O$ является точкой пересечения серединного перпендикуляра к отрезку $AB$ и окружности с центром в точке $A$ и радиусом $R$.

Построение:

1. Соединить точки $A$ и $B$ отрезком.

2. Построить серединный перпендикуляр $m$ к отрезку $AB$.

3. Построить окружность с центром в точке $A$ и радиусом $R$.

4. Найти точки пересечения прямой $m$ и построенной окружности. Эти точки ($O_1$ и $O_2$) и будут центрами искомых окружностей.

5. Построить окружности с центрами в $O_1$ и $O_2$ и радиусом $R$.

Задача может иметь два решения, если $R > \frac{1}{2}AB$; одно решение, если $R = \frac{1}{2}AB$; и не иметь решений, если $R < \frac{1}{2}AB$.

Ответ: Построить серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему данные точки, и найти его пересечение с окружностью с центром в одной из данных точек и данным радиусом. Точки пересечения будут центрами искомых окружностей. В зависимости от соотношения радиуса и расстояния между точками, задача может иметь два, одно или не иметь решений.

б) проходит через данную точку и касается данной окружности

Пусть дана точка $A$, окружность $\omega_1$ с центром $O_1$ и радиусом $r_1$, и искомый радиус $R$. Искомая окружность $\omega$ имеет центр $O$.

Так как окружность $\omega$ проходит через точку $A$, ее центр $O$ удален от $A$ на расстояние $R$. ГМТ таких центров $O$ есть окружность $\omega_A$ с центром в $A$ и радиусом $R$.

Так как окружность $\omega$ касается окружности $\omega_1$, расстояние между их центрами $OO_1$ равно либо сумме, либо разности их радиусов.

1. Внешнее касание: $OO_1 = R + r_1$. ГМТ таких центров $O$ — окружность с центром $O_1$ и радиусом $R + r_1$.

2. Внутреннее касание: $OO_1 = |R - r_1|$. ГМТ таких центров $O$ — окружность с центром $O_1$ и радиусом $|R - r_1|$.

Следовательно, центр $O$ искомой окружности является точкой пересечения окружности $\omega_A$ с двумя другими окружностями, имеющими центр $O_1$ и радиусы $R + r_1$ и $|R - r_1|$.

Построение:

1. Построить окружность $\omega_A$ с центром в точке $A$ и радиусом $R$.

2. Построить окружность с центром $O_1$ и радиусом $R + r_1$.

3. Построить окружность с центром $O_1$ и радиусом $|R - r_1|$ (если $R \ne r_1$).

4. Точки пересечения окружности $\omega_A$ с двумя построенными окружностями являются центрами искомых окружностей.

Задача может иметь от 0 до 4 решений.

Ответ: Центр искомой окружности является точкой пересечения окружности с центром в данной точке $A$ и радиусом $R$ с двумя окружностями, концентрическими данной окружности $\omega_1$, с радиусами $R+r_1$ и $|R-r_1|$. Задача может иметь от 0 до 4 решений.

в) проходит через данную точку и отсекает на данных пересекающихся прямых равные отрезки

Пусть дана точка $A$, пересекающиеся прямые $l_1$ и $l_2$, и радиус $R$. Центр $O$ искомой окружности $\omega$ должен быть равноудален от прямых $l_1$ и $l_2$, так как окружность высекает на них равные хорды. ГМТ, равноудаленных от двух пересекающихся прямых, есть пара биссектрис углов, образованных этими прямыми. Обозначим эти биссектрисы $b_1$ и $b_2$.

Так как окружность $\omega$ проходит через точку $A$, ее центр $O$ находится на расстоянии $R$ от $A$. ГМТ таких центров $O$ есть окружность с центром в $A$ и радиусом $R$.

Следовательно, центр $O$ искомой окружности является точкой пересечения биссектрис $b_1, b_2$ и окружности с центром в $A$ и радиусом $R$.

Построение:

1. Построить биссектрисы $b_1$ и $b_2$ углов, образованных прямыми $l_1$ и $l_2$.

2. Построить окружность с центром в точке $A$ и радиусом $R$.

3. Найти точки пересечения прямых $b_1$ и $b_2$ с построенной окружностью. Каждая точка пересечения является центром одной из искомых окружностей.

Задача может иметь от 0 до 4 решений.

Ответ: Центр искомой окружности лежит на пересечении биссектрис углов, образованных данными прямыми, и окружности с центром в данной точке $A$ и радиусом $R$. Задача может иметь от 0 до 4 решений.

г) касается данной окружности и отсекает на данных пересекающихся прямых равные отрезки

Пусть дана окружность $\omega_1$ с центром $O_1$ и радиусом $r_1$, пересекающиеся прямые $l_1$ и $l_2$, и искомый радиус $R$. Центр $O$ искомой окружности $\omega$ должен быть равноудален от прямых $l_1$ и $l_2$, то есть лежать на одной из биссектрис $b_1, b_2$ углов между ними.

Центр $O$ также должен находиться на расстоянии $R+r_1$ (внешнее касание) или $|R-r_1|$ (внутреннее касание) от центра $O_1$ данной окружности. ГМТ таких центров — это две окружности, концентричные $\omega_1$, с радиусами $R+r_1$ и $|R-r_1|$.

Следовательно, центр $O$ искомой окружности является точкой пересечения биссектрис $b_1, b_2$ с двумя окружностями, построенными вокруг центра $O_1$.

Построение:

1. Построить биссектрисы $b_1$ и $b_2$ углов, образованных прямыми $l_1$ и $l_2$.

2. Построить окружность с центром $O_1$ и радиусом $R+r_1$.

3. Построить окружность с центром $O_1$ и радиусом $|R-r_1|$ (если $R \ne r_1$).

4. Найти точки пересечения каждой из биссектрис с каждой из построенных окружностей. Эти точки являются центрами искомых окружностей.

Задача может иметь до 8 решений.

Ответ: Центр искомой окружности лежит на пересечении биссектрис углов, образованных данными прямыми, и двух окружностей, концентрических данной окружности $\omega_1$, с радиусами $R+r_1$ и $|R-r_1|$. Задача может иметь до 8 решений.

д) касается двух данных окружностей

Пусть даны две окружности $\omega_1$ с центром $O_1$ и радиусом $r_1$ и $\omega_2$ с центром $O_2$ и радиусом $r_2$. Искомая окружность $\omega$ имеет радиус $R$ и центр $O$.

Центр $O$ окружности радиуса $R$, касающейся окружности $\omega_1$, лежит на одной из двух окружностей с центром $O_1$ и радиусами $R+r_1$ (внешнее касание) и $|R-r_1|$ (внутреннее касание).

Аналогично, центр $O$ окружности, касающейся $\omega_2$, лежит на одной из двух окружностей с центром $O_2$ и радиусами $R+r_2$ и $|R-r_2|$.

Таким образом, центр $O$ является точкой пересечения одной из окружностей первой пары с одной из окружностей второй пары. Это приводит к четырем возможным случаям пересечения двух вспомогательных окружностей.

Построение:

1. Построить четыре вспомогательные окружности:

• $\omega_{1e}$: центр $O_1$, радиус $R+r_1$.
• $\omega_{1i}$: центр $O_1$, радиус $|R-r_1|$.
• $\omega_{2e}$: центр $O_2$, радиус $R+r_2$.
• $\omega_{2i}$: центр $O_2$, радиус $|R-r_2|$.

2. Найти точки пересечения для следующих пар окружностей: $(\omega_{1e}, \omega_{2e})$, $(\omega_{1e}, \omega_{2i})$, $(\omega_{1i}, \omega_{2e})$, $(\omega_{1i}, \omega_{2i})$.

3. Каждая найденная точка пересечения является центром искомой окружности радиуса $R$.

Задача может иметь до 8 решений (каждая из четырех пар окружностей может дать до двух точек пересечения).

Ответ: Центры искомых окружностей являются точками пересечения следующих пар окружностей: окружности с центром $O_1$ и радиусом $R+r_1$ или $|R-r_1|$ и окружности с центром $O_2$ и радиусом $R+r_2$ или $|R-r_2|$. Задача может иметь до 8 решений.