Номер 721, страница 213 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

721. Постройте треугольник по его:

а) двум сторонам и высоте, проведенной к одной из них;

б) двум сторонам и высоте, проведенной к третьей стороне;

в) стороне, высоте и биссектрисе, проведенным из вершин этой стороны;

г) стороне, прилежащему к ней углу и разности двух других сторон;

д) стороне, прилежащему к ней углу и сумме двух других сторон;

е) стороне, медиане и высоте, проведенным к другой стороне;

ж) двум медианам и углу между ними;

з) трем медианам;

и) двум медианам и высоте, проведенным к разным сторонам;

к) стороне и двум медианам, проведенным к другим сторонам;

л) стороне, проведенной к ней высоте и противолежащему углу;

м) стороне, противолежащему углу и сумме (разности) двух других сторон.

а) двум сторонам и высоте, проведенной к одной из них;

Пусть даны стороны $a$, $b$ и высота $h_a$, проведенная к стороне $a$. Требуется построить треугольник $ABC$ со сторонами $BC=a$, $AC=b$ и высотой $AH=h_a$.

Анализ:
Высота $AH$ перпендикулярна стороне $BC$. Следовательно, треугольник $AHC$ является прямоугольным с гипотенузой $AC=b$ и катетом $AH=h_a$. Мы можем построить этот треугольник. Получив точки $A$ и $C$, а также прямую, на которой лежит сторона $BC$, мы можем найти вершину $B$, отложив отрезок $BC=a$ от точки $C$.

План построения:
1. Проведем произвольную прямую $l$.
2. Выберем на ней точку $H$ и восставим в этой точке перпендикуляр $p$ к прямой $l$.
3. На перпендикуляре $p$ отложим отрезок $AH$, равный данной высоте $h_a$.
4. Проведем окружность с центром в точке $A$ и радиусом, равным стороне $b$. Эта окружность пересечет прямую $l$ в точке (или точках). Выберем одну из них и обозначим $C$. Мы получили вершину $C$.
5. Проведем окружность с центром в точке $C$ и радиусом, равным стороне $a$. Она пересечет прямую $l$ в двух точках. Выберем ту, которая не совпадает с $H$ (или любую, если $a \ne CH$), и обозначим ее $B$.
6. Соединим точки $A$, $B$ и $C$. Треугольник $ABC$ – искомый.

Доказательство:
В построенном треугольнике $ABC$ сторона $AC=b$ (как радиус окружности с центром $A$), сторона $BC=a$ (как радиус окружности с центром $C$). Высота, проведенная из вершины $A$ к прямой $BC$, по построению равна отрезку $AH=h_a$. Следовательно, треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Замечание: Задача имеет решение, если $b \ge h_a$. Если $b > h_a$, то, в общем случае, существует до четырех различных (но попарно симметричных) решений, в зависимости от выбора положения точки $C$ относительно $H$ и точки $B$ относительно $C$.

Ответ: Построение выполнено и описано выше.

б) двум сторонам и высоте, проведенной к третьей стороне;

Пусть даны стороны $a$, $b$ и высота $h_c$, проведенная к третьей стороне $c$. Требуется построить треугольник $ABC$ со сторонами $BC=a$, $AC=b$ и высотой $CH=h_c$.

Анализ:
Вершина $C$ удалена от прямой, содержащей сторону $AB$, на расстояние $h_c$. Значит, точка $C$ лежит на прямой, параллельной прямой $AB$ и находящейся на расстоянии $h_c$ от нее. Зная положение точки $C$, можно найти вершины $A$ и $B$ как точки пересечения прямой $AB$ с окружностями радиусов $b$ и $a$ с центром в $C$.

План построения:
1. Проведем произвольную прямую $l$, на которой будет лежать сторона $AB$.
2. Построим прямую $p$, параллельную прямой $l$ и находящуюся на расстоянии $h_c$ от нее.
3. Выберем на прямой $p$ произвольную точку $C$.
4. Проведем окружность с центром в точке $C$ и радиусом $a$. Точка пересечения этой окружности с прямой $l$ будет вершиной $B$.
5. Проведем окружность с центром в точке $C$ и радиусом $b$. Точка пересечения этой окружности с прямой $l$ будет вершиной $A$.
6. Соединим точки $A$, $B$ и $C$. Треугольник $ABC$ – искомый.

Доказательство:
В построенном треугольнике $ABC$ стороны $BC=a$ и $AC=b$ по построению (как радиусы соответствующих окружностей). Высота из вершины $C$ на прямую $AB$ равна расстоянию между параллельными прямыми $l$ и $p$, то есть $h_c$. Треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям.

Замечание: Задача имеет решение, если $a \ge h_c$ и $b \ge h_c$. В общем случае, возможно несколько решений, так как точки $A$ и $B$ могут располагаться по-разному относительно основания высоты из точки $C$.

Ответ: Построение выполнено и описано выше.

в) стороне, высоте и биссектрисе, проведенным из вершин этой стороны;

Формулировка "проведенным из вершин этой стороны" является неоднозначной. Наиболее вероятная трактовка для школьного курса — высота и биссектриса проведены из одной и той же вершины, прилежащей к данной стороне. Пусть даны сторона $a=BC$, высота $h_b$ и биссектриса $l_b$, проведенные из вершины $B$.

Анализ:
Пусть $BD=h_b$ — высота, а $BE=l_b$ — биссектриса из вершины $B$ на прямую $AC$. Тогда треугольник $BDE$ является прямоугольным с гипотенузой $BE=l_b$ и катетом $BD=h_b$. Мы можем его построить. Это даст нам вершину $B$ и прямую, содержащую сторону $AC$. Затем, зная сторону $BC=a$, мы можем найти вершину $C$. Угол $\angle EBC$ будет известен. Так как $BE$ — биссектриса, то $\angle ABE = \angle EBC$, что позволяет найти положение стороны $AB$ и, следовательно, вершину $A$.

План построения:
1. Построим прямоугольный треугольник $BDE$ по гипотенузе $BE=l_b$ и катету $BD=h_b$. (Проводим прямую $l$, на ней точка $D$, восставляем перпендикуляр, откладываем $BD=h_b$, из точки $B$ проводим окружность радиуса $l_b$, получаем точку $E$ на прямой $l$).
2. Прямая $l$, проходящая через точки $D$ и $E$, содержит сторону $AC$.
3. Проведем окружность с центром в точке $B$ и радиусом $a$. Точка ее пересечения с прямой $l$ есть вершина $C$.
4. Теперь у нас есть точки $E, B, C$, и мы можем измерить (скопировать) угол $\angle EBC$.
5. Построим угол $\angle FBE$, равный углу $\angle EBC$, так, чтобы луч $BF$ лежал по другую сторону от прямой $BE$, чем луч $BC$.
6. Точка пересечения луча $BF$ с прямой $l$ есть вершина $A$.
7. Соединим точки $A$, $B$ и $C$. Треугольник $ABC$ – искомый.

Доказательство:
По построению $BC=a$. Высота из $B$ на прямую $AC$ есть $BD=h_b$. Длина отрезка $BE$ равна $l_b$. Угол $\angle ABE$ равен углу $\angle EBC$, следовательно, $BE$ является биссектрисой угла $\angle ABC$. Все условия выполнены.

Ответ: Построение выполнено и описано выше.

г) стороне, прилежащему к ней углу и разности двух других сторон;

Пусть даны сторона $BC=a$, прилежащий угол $\angle C = \gamma$ и разность двух других сторон $|AC-AB|=|b-c|=d$. Предположим, что $b > c$.

Анализ:
На стороне $AC$ отложим отрезок $CD'$, равный $d$. Тогда $AD' = AC - CD' = b - d = c$. Следовательно, $AD' = AB$, и треугольник $ABD'$ является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике $ABD'$ вершина $A$ должна лежать на серединном перпендикуляре к основанию $BD'$. Точка $A$ также должна лежать на луче, выходящем из $C$ под углом $\gamma$ к $BC$.

План построения:
1. Построим отрезок $BC$ длиной $a$.
2. От луча $CB$ отложим угол $\angle BCX$, равный $\gamma$.
3. На луче $CX$ отложим от точки $C$ отрезок $CD'$, равный $d$.
4. Соединим точки $B$ и $D'$.
5. Построим серединный перпендикуляр к отрезку $BD'$.
6. Точка пересечения этого перпендикуляра с лучом $CX$ является вершиной $A$.
7. Соединим точки $A, B, C$. Треугольник $ABC$ – искомый.

Доказательство:
По построению $BC=a$ и $\angle C = \gamma$. Точка $A$ лежит на серединном перпендикуляре к $BD'$, следовательно, $AB=AD'$. Тогда разность сторон $AC - AB = AC - AD' = CD' = d$. Все условия выполнены.

Ответ: Построение выполнено и описано выше.

д) стороне, прилежащему к ней углу и сумме двух других сторон;

Пусть даны сторона $BC=a$, прилежащий угол $\angle C = \gamma$ и сумма двух других сторон $AC+AB=b+c=s$.

Анализ:
Продолжим сторону $AC$ за точку $A$ и отложим на продолжении отрезок $AD'$, равный $AB$. Тогда $CD' = CA + AD' = CA+AB=s$. Треугольник $ABD'$ является равнобедренным ($AB=AD'$). Вершина $A$ должна лежать на серединном перпендикуляре к основанию $BD'$. Также точка $A$ лежит на отрезке $CD'$.

План построения:
1. Построим отрезок $BC$ длиной $a$.
2. От луча $CB$ отложим угол $\angle BCX$, равный $\gamma$.
3. На луче $CX$ отложим от точки $C$ отрезок $CD'$, равный $s$.
4. Соединим точки $B$ и $D'$.
5. Построим серединный перпендикуляр к отрезку $BD'$.
6. Точка пересечения этого перпендикуляра с отрезком $CD'$ является вершиной $A$.
7. Соединим точки $A, B, C$. Треугольник $ABC$ – искомый.

Доказательство:
По построению $BC=a$ и $\angle C = \gamma$. Точка $A$ лежит на серединном перпендикуляре к $BD'$, следовательно, $AB=AD'$. Тогда сумма сторон $AC + AB = AC + AD' = CD' = s$. Все условия выполнены.

Замечание: Задача имеет решение, если выполняется неравенство треугольника для $\triangle BCD'$, то есть $s>a$.

Ответ: Построение выполнено и описано выше.

е) стороне, медиане и высоте, проведенным к другой стороне;

Пусть даны сторона $a=BC$, медиана $m_b$ и высота $h_b$, проведенные из вершины $B$ к стороне $AC$.

Анализ:
Пусть $BD=h_b$ — высота, а $BM_b=m_b$ — медиана из вершины $B$ на сторону $AC$. Точка $M_b$ — середина $AC$. Треугольник $BDM_b$ является прямоугольным с гипотенузой $BM_b=m_b$ и катетом $BD=h_b$. Построив этот треугольник, мы найдем вершину $B$ и прямую, содержащую сторону $AC$. Затем, зная $BC=a$, найдем точку $C$. Так как $M_b$ — середина $AC$, мы можем найти и точку $A$.

План построения:
1. Построим прямоугольный треугольник $BDM_b$ по гипотенузе $BM_b=m_b$ и катету $BD=h_b$.
2. Прямая, проходящая через $D$ и $M_b$, содержит сторону $AC$.
3. Проведем окружность с центром в точке $B$ и радиусом $a$. Точка ее пересечения с прямой $DM_b$ есть вершина $C$.
4. На прямой $DM_b$ отложим от точки $M_b$ отрезок $M_bA$, равный $M_bC$, так, чтобы точка $M_b$ оказалась между $A$ и $C$.
5. Соединим точки $A, B, C$. Треугольник $ABC$ – искомый.

Доказательство:
По построению $BC=a$. Высота из $B$ на $AC$ равна $BD=h_b$. $M_b$ — середина $AC$, значит $BM_b$ — медиана, и ее длина равна $m_b$. Все условия выполнены.

Замечание: Задача имеет решение, если $m_b \ge h_b$.

Ответ: Построение выполнено и описано выше.

ж) двум медианам и углу между ними;

Пусть даны медианы $m_a, m_b$ и угол $\phi$ между ними.

Анализ:
Медианы треугольника пересекаются в одной точке (центроиде) $M$ и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершины. Таким образом, мы знаем длины отрезков $AM = \frac{2}{3}m_a$ и $BM = \frac{2}{3}m_b$, а также угол между ними $\angle AMB = \phi$. Мы можем построить треугольник $AMB$. Зная положение вершин $A, B$ и центроида $M$, можно восстановить весь треугольник.

План построения:
1. Построим отрезки длиной $s_a = \frac{2}{3}m_a$ и $s_b = \frac{2}{3}m_b$.
2. Построим треугольник $AMB$ по двум сторонам $AM=s_a$, $BM=s_b$ и углу $\phi$ между ними.
3. Найдем середину стороны $AB$, назовем ее $M_c$. Проведем луч $CM$ через точку $M_c$. Продолжим отрезок $MM_c$ за точку $M_c$ на его же длину до точки $C$. Вершина $C$ найдена.
4. Альтернативный способ найти $C$: продолжим отрезок $AM$ за точку $M$ до точки $M_a$ так, что $MM_a = \frac{1}{2}AM = \frac{1}{3}m_a$. Точка $M_a$ — середина стороны $BC$. Теперь построим точку $C$, симметричную точке $B$ относительно точки $M_a$.
5. Соединим точки $A, B, C$. Треугольник $ABC$ – искомый.

Доказательство:
Пусть $M$ — точка пересечения медиан. По построению, $AM_a$ является медианой к стороне $BC$, и ее длина $AM+MM_a = \frac{2}{3}m_a+\frac{1}{3}m_a=m_a$. Медиана из вершины $B$ проходит через $M$, и $BM=\frac{2}{3}m_b$, значит ее полная длина $m_b$. Угол между медианами $\angle AMB = \phi$. Все условия выполнены.

Ответ: Построение выполнено и описано выше.

з) трем медианам;

Пусть даны три медианы $m_a, m_b, m_c$.

Анализ:
Существует теорема, связывающая стороны треугольника с его медианами. А именно, из отрезков, равных медианам $m_a, m_b, m_c$, можно построить треугольник (назовем его "треугольник медиан"), и медианы этого нового треугольника будут равны $\frac{3}{4}a, \frac{3}{4}b, \frac{3}{4}c$ соответственно, где $a,b,c$ - стороны искомого треугольника. Это позволяет свести задачу к последовательности построений.

План построения:
1. Проверим, могут ли отрезки $m_a, m_b, m_c$ образовать треугольник (удовлетворяют ли они неравенству треугольника). Если нет, решения не существует.
2. Построим треугольник $T$ со сторонами, равными $m_a, m_b, m_c$.
3. Построим медианы этого треугольника $T$. Пусть их длины равны $\mu_a, \mu_b, \mu_c$.
4. Построим отрезки $a = \frac{4}{3}\mu_a$, $b = \frac{4}{3}\mu_b$, $c = \frac{4}{3}\mu_c$. (Построение отрезка $\frac{4}{3}x$ означает деление $x$ на 3 части и взятие 4 таких частей).
5. Построим искомый треугольник $ABC$ по трем сторонам $a, b, c$.

Доказательство:
Правильность построения следует из упомянутой выше теоремы о медианах треугольника медиан.

Ответ: Построение выполнено и описано выше.

и) двум медианам и высоте, проведенным к разным сторонам;

Эта задача в общем виде (например, $m_a, m_b, h_c$) очень сложна. Скорее всего, имеется в виду более простой случай, когда одна из медиан и высота проведены из одной и той же вершины, например, даны $m_a, h_a$ и $m_b$.

Анализ (для случая $m_a, h_a, m_b$):
Пусть $AH=h_a$ - высота, $AM_a=m_a$ - медиана. Мы можем построить прямоугольный треугольник $AHM_a$ по гипотенузе $m_a$ и катету $h_a$. Это даст нам вершину $A$ и прямую, содержащую сторону $BC$. Точка $M_a$ - середина $BC$. Далее нужно найти положение точек $B$ и $C$ на этой прямой, используя медиану $m_b$. Положение $B$ и $C$ определяется одним параметром - расстоянием от $M_a$, например $x = M_aC = M_aB$. Это расстояние можно найти, выразив длину медианы $m_b$ через известные величины и $x$ (например, методом координат), и оказывается, что $x$ можно построить циркулем и линейкой.

План построения (для $m_a, h_a, m_b$):
1. Построим прямоугольный треугольник $AHM_a$ по гипотенузе $m_a$ и катету $h_a$.
2. Проведем прямую $l$ через точки $H$ и $M_a$.
3. Построим отрезок $k = HM_a = \sqrt{m_a^2-h_a^2}$.
4. Построим отрезок $L = \sqrt{m_b^2 - (h_a/2)^2}$.
5. Построим отрезок $x = \frac{1}{3}|k \pm 2L|$ (выбираем знак, дающий положительный результат). Это требует умения делить отрезок на 3 равные части.
6. На прямой $l$ отложим от точки $M_a$ в разные стороны отрезки $M_aB$ и $M_aC$, равные $x$.
7. Соединим $A, B, C$. Треугольник $ABC$ – искомый.

Ответ: Построение для частного случая $m_a, h_a, m_b$ выполнено и описано выше.

к) стороне и двум медианам, проведенным к другим сторонам;

Пусть даны сторона $a=BC$ и медианы $m_b, m_c$, проведенные к двум другим сторонам.

Анализ:
Рассмотрим треугольник $BMC$, где $M$ — точка пересечения медиан. Стороны этого треугольника: $BC=a$, $BM = \frac{2}{3}m_b$ и $CM = \frac{2}{3}m_c$. Мы можем построить этот треугольник по трем сторонам. После этого найти вершину $A$ несложно, так как она лежит на продолжении медианы $MM_a$, где $M_a$ — середина $BC$.

План построения:
1. Построим отрезки $s_b = \frac{2}{3}m_b$ и $s_c = \frac{2}{3}m_c$.
2. Построим треугольник $BMC$ по трем сторонам: $BC=a, BM=s_b, CM=s_c$.
3. Найдем середину стороны $BC$, точку $M_a$.
4. Проведем луч из точки $M_a$ через точку $M$.
5. На этом луче отложим отрезок $MA$, равный $2 \cdot M_aM$. Точка $A$ — искомая вершина.
6. Соединим точки $A, B, C$.

Доказательство:
По построению $BC=a$. $M_a$ — середина $BC$, $A$ лежит на прямой $M_aM$ и $AM = 2MM_a$, значит $M$ — точка пересечения медиан, а $AM_a$ — медиана. Длины отрезков от вершин до точки $M$ равны $\frac{2}{3}$ длин соответствующих медиан, значит медианы из $B$ и $C$ равны $m_b$ и $m_c$. Все условия выполнены.

Замечание: Задача имеет решение, если отрезки $a, \frac{2}{3}m_b, \frac{2}{3}m_c$ удовлетворяют неравенству треугольника.

Ответ: Построение выполнено и описано выше.

л) стороне, проведенной к ней высоте и противолежащему углу;

Пусть даны сторона $a=BC$, высота $h_a$, проведенная к ней, и противолежащий угол $\angle A = \alpha$.

Анализ:
Вершина $A$ должна удовлетворять двум условиям: 1) она должна лежать на геометрическом месте точек, из которых отрезок $BC$ виден под углом $\alpha$ (это дуга окружности); 2) она должна находиться на расстоянии $h_a$ от прямой $BC$ (это прямая, параллельная $BC$). Искомая вершина $A$ — точка пересечения этих двух множеств.

План построения:
1. Построим отрезок $BC$ длиной $a$.
2. Построим дугу окружности, являющуюся геометрическим местом точек, из которых $BC$ виден под углом $\alpha$. (Для этого строим угол $BCX = \alpha$ и проводим перпендикуляр к $CX$ в точке C. Пересечение этого перпендикуляра с серединным перпендикуляром к $BC$ даст центр окружности).
3. Построим прямую $l$, параллельную прямой $BC$ и находящуюся на расстоянии $h_a$ от нее.
4. Точка (или точки) пересечения прямой $l$ и построенной дуги является вершиной $A$.
5. Соединим $A, B, C$.

Доказательство:
По построению $BC=a$. Точка $A$ лежит на дуге, значит $\angle BAC = \alpha$. Точка $A$ лежит на прямой, параллельной $BC$ на расстоянии $h_a$, значит высота из $A$ на $BC$ равна $h_a$. Все условия выполнены.

Ответ: Построение выполнено и описано выше.

м) стороне, противолежащему углу и сумме (разности) двух других сторон.

Случай 1: Даны сумма сторон $b+c=s$, сторона $a$ и угол $\alpha$.

Анализ:
Продолжим сторону $AB$ за точку $A$ до точки $D$ так, что $AD=AC$. Тогда $BD = BA+AD = c+b=s$. В равнобедренном треугольнике $ADC$ имеем $\angle ADC = \angle ACD$. Угол $\angle BAC = \alpha$ является внешним для $\triangle ADC$, поэтому $\alpha = \angle ADC + \angle ACD = 2\angle ADC$. Отсюда $\angle BDC = \alpha/2$. Теперь мы можем построить $\triangle BDC$ по двум сторонам $BD=s$, $BC=a$ и углу $\angle BDC=\alpha/2$, противолежащему стороне $BC$.

План построения (сумма):
1. Построим отрезок $BD$ длиной $s$.
2. В точке $D$ построим луч $DX$ так, что $\angle BDX = \alpha/2$.
3. Из точки $B$ проведем окружность радиусом $a$. Точка ее пересечения с лучом $DX$ есть вершина $C$.
4. Построим серединный перпендикуляр к отрезку $CD$. Его точка пересечения с прямой $BD$ есть вершина $A$.
5. Соединим $A, B, C$.

Случай 2: Даны разность сторон $|b-c|=d$, сторона $a$ и угол $\alpha$. (Пусть $b>c$).

Анализ:
На стороне $AC$ отложим точку $D$ так, что $AD=AB$. Тогда $CD=AC-AB=d$. В равнобедренном $\triangle ABD$ имеем $\angle ABD=\angle ADB$. Можно показать, что $\angle BDC = 90^\circ + \alpha/2$. Таким образом, мы можем построить $\triangle BCD$ по двум сторонам $BC=a$, $CD=d$ и углу $\angle BDC$.

План построения (разность):
1. Построим отрезок $CD$ длиной $d$.
2. В точке $D$ построим луч $DY$ так, что $\angle CDY = 90^\circ + \alpha/2$.
3. Из точки $C$ проведем окружность радиусом $a$. Точка ее пересечения с лучом $DY$ есть вершина $B$.
4. Построим серединный перпендикуляр к отрезку $BD$. Его точка пересечения с прямой $CD$ (продолженной за точку $D$) есть вершина $A$.
5. Соединим $A, B, C$.

Ответ: Построения для случаев суммы и разности выполнены и описаны выше.