Номер 716, страница 212 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

716. Найдите сумму квадратов расстояний от произвольной точки единичной окружности до вершин квадрата, описанного около этой окружности.

Введем декартову систему координат так, чтобы центр единичной окружности находился в начале координат $O(0, 0)$. Уравнение такой окружности: $x^2 + y^2 = 1$.

Пусть $P(x, y)$ — произвольная точка на этой окружности. Ее координаты удовлетворяют уравнению $x^2 + y^2 = 1$.

Квадрат, описанный около данной окружности, будет иметь стороны, параллельные осям координат и касающиеся окружности в точках $(1, 0), (-1, 0), (0, 1)$ и $(0, -1)$. Следовательно, стороны квадрата задаются уравнениями $x=1, x=-1, y=1, y=-1$.

Вершинами этого квадрата являются точки пересечения этих прямых:

• $A(1, 1)$
• $B(-1, 1)$
• $C(-1, -1)$
• $D(1, -1)$

Нам нужно найти сумму квадратов расстояний от точки $P(x, y)$ до вершин квадрата. Обозначим эту сумму через $S$.
$S = PA^2 + PB^2 + PC^2 + PD^2$.

Воспользуемся формулой квадрата расстояния между двумя точками $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, которая равна $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$. Рассчитаем каждое слагаемое:

• $PA^2 = (x-1)^2 + (y-1)^2 = x^2 - 2x + 1 + y^2 - 2y + 1 = (x^2+y^2) - 2x - 2y + 2$
• $PB^2 = (x-(-1))^2 + (y-1)^2 = (x+1)^2 + (y-1)^2 = x^2 + 2x + 1 + y^2 - 2y + 1 = (x^2+y^2) + 2x - 2y + 2$
• $PC^2 = (x-(-1))^2 + (y-(-1))^2 = (x+1)^2 + (y+1)^2 = x^2 + 2x + 1 + y^2 + 2y + 1 = (x^2+y^2) + 2x + 2y + 2$
• $PD^2 = (x-1)^2 + (y-(-1))^2 = (x-1)^2 + (y+1)^2 = x^2 - 2x + 1 + y^2 + 2y + 1 = (x^2+y^2) - 2x + 2y + 2$

Теперь найдем их сумму $S$:
$S = ((x^2+y^2) - 2x - 2y + 2) + ((x^2+y^2) + 2x - 2y + 2) + ((x^2+y^2) + 2x + 2y + 2) + ((x^2+y^2) - 2x + 2y + 2)$

Сгруппируем слагаемые. Члены с $x$ и $y$ взаимно уничтожаются: $(-2x+2x+2x-2x=0)$ и $(-2y-2y+2y+2y=0)$. Остаются:
$S = 4(x^2+y^2) + (2+2+2+2) = 4(x^2+y^2) + 8$.

Так как точка $P(x, y)$ лежит на единичной окружности, для нее выполняется равенство $x^2 + y^2 = 1$. Подставим это значение в полученное выражение для $S$:
$S = 4(1) + 8 = 4 + 8 = 12$.

Таким образом, сумма квадратов расстояний от любой точки единичной окружности до вершин описанного квадрата является постоянной величиной.

Ответ: 12