Номер 709, страница 212 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

709. Есть две точки $P$ и $Q$. Найдите геометрическое место таких точек $Y$, что медиана:

а) $QQ_1$, треугольника $YPQ$ равна стороне $PY$;

б) $PP_1$, треугольника $YPQ$ равна высоте к стороне $PQ$.

а) медиана $QQ_1$ треугольника $YPQ$ равна стороне $PY$

Пусть $P$ и $Q$ — две заданные точки. Рассмотрим треугольник $YPQ$. $Q_1$ — середина стороны $PY$. Медиана, проведенная из вершины $Q$, — это отрезок $QQ_1$. По условию задачи, длина медианы $QQ_1$ равна длине стороны $PY$. $|QQ_1| = |PY|$.

Для нахождения геометрического места точек $Y$ воспользуемся формулой для длины медианы треугольника. Для медианы $m_q = QQ_1$, проведенной к стороне $PY$ в треугольнике $YPQ$, формула имеет вид: $|QQ_1|^2 = \frac{2|QY|^2 + 2|PQ|^2 - |PY|^2}{4}$

Согласно условию, $|QQ_1| = |PY|$. Возведем обе части в квадрат: $|QQ_1|^2 = |PY|^2$. Подставим это в формулу для медианы: $|PY|^2 = \frac{2|QY|^2 + 2|PQ|^2 - |PY|^2}{4}$

Умножим обе части на 4: $4|PY|^2 = 2|QY|^2 + 2|PQ|^2 - |PY|^2$

Перенесем члены с $|PY|^2$ в левую часть: $5|PY|^2 = 2|QY|^2 + 2|PQ|^2$

Перепишем уравнение в виде: $5|PY|^2 - 2|QY|^2 = 2|PQ|^2$

Это уравнение определяет так называемую окружность Аполлония. Чтобы определить ее параметры (центр и радиус), введем систему координат. Пусть точки $P$ и $Q$ лежат на оси $Ox$, а начало координат находится в точке $P$. Тогда $P = (0, 0)$, $Q = (d, 0)$, где $d = |PQ|$. Пусть искомая точка $Y$ имеет координаты $(x, y)$. Тогда $|PY|^2 = x^2 + y^2$ и $|QY|^2 = (x-d)^2 + y^2$.

Подставим эти выражения в полученное уравнение: $5(x^2 + y^2) - 2((x-d)^2 + y^2) = 2d^2$ $5x^2 + 5y^2 - 2(x^2 - 2dx + d^2 + y^2) = 2d^2$ $5x^2 + 5y^2 - 2x^2 + 4dx - 2d^2 - 2y^2 = 2d^2$ $3x^2 + 4dx + 3y^2 - 4d^2 = 0$

Разделим на 3 и выделим полный квадрат для $x$: $x^2 + \frac{4d}{3}x + y^2 - \frac{4d^2}{3} = 0$ $(x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{2d}{3} + (\frac{2d}{3})^2) - (\frac{2d}{3})^2 + y^2 - \frac{4d^2}{3} = 0$ $(x + \frac{2d}{3})^2 + y^2 = \frac{4d^2}{9} + \frac{4d^2}{3} = \frac{4d^2 + 12d^2}{9} = \frac{16d^2}{9}$

Таким образом, мы получили уравнение окружности: $(x + \frac{2d}{3})^2 + y^2 = (\frac{4d}{3})^2$

Это окружность с центром в точке $C(-\frac{2d}{3}, 0)$ и радиусом $R = \frac{4d}{3}$. Вспомним, что $d=|PQ|$, $P=(0,0)$ и $Q=(d,0)$. Центр $C$ лежит на прямой $PQ$. Его координата $x = -2d/3$, что означает, что он находится на расстоянии $\frac{2}{3}d$ от точки $P$ в направлении, противоположном вектору $\vec{PQ}$. Другими словами, точка $P$ лежит между точками $C$ и $Q$. Радиус окружности равен $R = \frac{4}{3}|PQ|$.

Треугольник $YPQ$ является невырожденным, если точка $Y$ не лежит на прямой $PQ$. Найдем точки пересечения окружности с прямой $PQ$ (осью $Ox$, где $y=0$). $(x + \frac{2d}{3})^2 = (\frac{4d}{3})^2 \implies x + \frac{2d}{3} = \pm\frac{4d}{3}$ $x_1 = \frac{4d}{3} - \frac{2d}{3} = \frac{2d}{3}$ $x_2 = -\frac{4d}{3} - \frac{2d}{3} = -\frac{6d}{3} = -2d$ Эти две точки на прямой $PQ$ следует исключить из искомого множества.

Ответ: Искомое геометрическое место точек — это окружность с центром $C$ и радиусом $R$, за исключением двух точек пересечения с прямой $PQ$. Центр $C$ лежит на прямой $PQ$ так, что точка $P$ находится между $C$ и $Q$ на расстоянии $|PC| = \frac{2}{3}|PQ|$. Радиус окружности $R = \frac{4}{3}|PQ|$.

б) медиана $PP_1$ треугольника $YPQ$ равна высоте к стороне $PQ$

Рассмотрим треугольник $YPQ$. $P_1$ — середина стороны $YQ$. Медиана, проведенная из вершины $P$, — это отрезок $PP_1$. Высота к стороне $PQ$ — это перпендикуляр, опущенный из вершины $Y$ на прямую $PQ$. Обозначим его длину как $h_Y$. По условию задачи, $|PP_1| = h_Y$.

Для нахождения геометрического места точек $Y$ введем систему координат. Удобно расположить отрезок $PQ$ на оси $Ox$. Пусть $P$ находится в начале координат. Тогда $P = (0, 0)$, $Q = (d, 0)$, где $d = |PQ|$. Пусть искомая точка $Y$ имеет координаты $(x, y)$.

Высота $h_Y$ к стороне $PQ$ — это расстояние от точки $Y(x, y)$ до оси $Ox$, которое равно $|y|$. Поскольку для существования треугольника $YPQ$ точка $Y$ не должна лежать на прямой $PQ$, то $y \neq 0$, и значит $h_Y = |y| > 0$.

Точка $P_1$ является серединой отрезка $YQ$. Ее координаты: $P_1 = (\frac{x+d}{2}, \frac{y+0}{2}) = (\frac{x+d}{2}, \frac{y}{2})$

Длина медианы $PP_1$ (расстояние от $P(0,0)$ до $P_1$): $|PP_1| = \sqrt{(\frac{x+d}{2} - 0)^2 + (\frac{y}{2} - 0)^2} = \sqrt{\frac{(x+d)^2}{4} + \frac{y^2}{4}}$

Приравняем длину медианы к высоте, согласно условию $|PP_1| = h_Y = |y|$: $\sqrt{\frac{(x+d)^2 + y^2}{4}} = |y|$

Возведем обе части в квадрат: $\frac{(x+d)^2 + y^2}{4} = y^2$

Умножим на 4: $(x+d)^2 + y^2 = 4y^2$ $(x+d)^2 = 3y^2$

Перенесем все в одну сторону и разложим на множители как разность квадратов: $(x+d)^2 - (\sqrt{3}y)^2 = 0$ $((x+d) - \sqrt{3}y)((x+d) + \sqrt{3}y) = 0$

Это уравнение распадается на два, задающих две прямые: 1) $x+d - \sqrt{3}y = 0 \implies y = \frac{1}{\sqrt{3}}(x+d)$ 2) $x+d + \sqrt{3}y = 0 \implies y = -\frac{1}{\sqrt{3}}(x+d)$

Обе прямые проходят через точку, для которой $x+d=0$ и $y=0$, то есть через точку $S(-d, 0)$. В нашей системе координат $P=(0,0)$ и $Q=(d,0)$. Точка $S(-d,0)$ лежит на прямой $PQ$ и является симметричной точке $Q$ относительно точки $P$ (т.е. $P$ - середина отрезка $SQ$).

Угловые коэффициенты этих прямых равны $k_1 = \frac{1}{\sqrt{3}}$ и $k_2 = -\frac{1}{\sqrt{3}}$. Это означает, что прямые образуют с положительным направлением оси $Ox$ (направлением вектора $\vec{PQ}$) углы $\alpha_1$ и $\alpha_2$ такие, что $\tan(\alpha_1) = \frac{1}{\sqrt{3}}$ и $\tan(\alpha_2) = -\frac{1}{\sqrt{3}}$. Следовательно, углы равны $30^\circ$ и $150^\circ$ (или, что то же самое, $\pm 30^\circ$ относительно прямой $PQ$).

Точка $Y$ не может лежать на прямой $PQ$, поэтому точка пересечения найденных прямых, $S$, должна быть исключена из искомого множества.

Ответ: Искомое геометрическое место точек — это пара прямых, проходящих через точку $S$, симметричную точке $Q$ относительно точки $P$, и образующих с прямой $PQ$ углы $30^\circ$ и $150^\circ$ (или $\pm 30^\circ$). Точка $S$ из этого множества исключается.