Номер 707, страница 211 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

707*. Квадрат со стороной 1 движется внутри прямого угла так, что две его соседние вершины находятся на сторонах угла (рис. 448). Выясните, по какой линии движется его центр.

Рис. 448

Введем декартову систему координат. Пусть вершина прямого угла находится в начале координат O(0, 0), а его стороны лежат на положительных полуосях Ox и Oy.

Пусть данный квадрат имеет вершины A, B, C, D. По условию, две его соседние вершины находятся на сторонах угла. Пусть вершина A лежит на оси Oy, а вершина B — на оси Ox. Тогда их координаты можно записать как A(0, a) и B(b, 0), где $a \ge 0$ и $b \ge 0$.

Так как AB — сторона квадрата, ее длина по условию равна 1. Используем формулу расстояния между двумя точками:$AB^2 = (b - 0)^2 + (0 - a)^2 = b^2 + a^2$. Следовательно, мы получаем соотношение: $a^2 + b^2 = 1^2 = 1$.

Центр квадрата, обозначим его M(x, y), является точкой пересечения его диагоналей и равноудален от его сторон. Найдем координаты центра M, используя его положение относительно стороны AB. Центр M удален от середины стороны AB на расстояние, равное половине длины стороны, по перпендикуляру к этой стороне.

Найдем координаты точки P — середины отрезка AB:$P = \left(\frac{0+b}{2}, \frac{a+0}{2}\right) = \left(\frac{b}{2}, \frac{a}{2}\right)$.

Вектор, соответствующий стороне AB, это $\vec{AB} = (b, -a)$. Вектор, перпендикулярный вектору $\vec{AB}$, будет коллинеарен вектору $(a, b)$. Длина этого вектора равна $\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1} = 1$.

Вектор $\vec{PM}$, идущий от середины стороны P к центру квадрата M, перпендикулярен $\vec{AB}$ и имеет длину $1/2$ (половина стороны квадрата). Так как квадрат находится внутри прямого угла (в первом координатном квадранте), вектор $\vec{PM}$ должен быть направлен в сторону увеличения координат. Таким образом, его можно выразить как:$\vec{PM} = \frac{1}{2} \cdot (a, b) = \left(\frac{a}{2}, \frac{b}{2}\right)$.

Координаты центра M(x, y) можно найти, прибавив к координатам точки P компоненты вектора $\vec{PM}$:$x = x_P + x_{PM} = \frac{b}{2} + \frac{a}{2} = \frac{a+b}{2}$$y = y_P + y_{PM} = \frac{a}{2} + \frac{b}{2} = \frac{a+b}{2}$

Из полученных выражений для координат центра M следует, что $x = y$. Это уравнение прямой, которая является биссектрисой первого координатного угла. Следовательно, центр квадрата всегда находится на биссектрисе того прямого угла, внутри которого движется квадрат.

Чтобы полностью описать траекторию, найдем, какую часть этой биссектрисы описывает центр. Для этого определим диапазон значений для координаты $x = \frac{a+b}{2}$. Поскольку $a \ge 0$, $b \ge 0$ и $a^2+b^2=1$, можно использовать тригонометрическую замену: $a = \sin\theta$ и $b = \cos\theta$ для $\theta \in [0, \pi/2]$. Тогда $x = \frac{\sin\theta + \cos\theta}{2}$. Минимальное значение эта функция принимает в крайних точках отрезка $[0, \pi/2]$, то есть при $\theta=0$ или $\theta=\pi/2$. Это соответствует случаям, когда одна из сторон квадрата лежит на оси координат. В этих случаях $x = \frac{0+1}{2} = \frac{1}{2}$. Координаты центра: $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$. Максимальное значение достигается, когда сумма $\sin\theta + \cos\theta$ максимальна. Это происходит при $\theta = \pi/4$, когда $a = b = \frac{\sqrt{2}}{2}$. В этом случае $x = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Координаты центра: $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$.

Таким образом, центр квадрата движется по отрезку прямой, соединяющему точки с координатами $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ и $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$. Этот отрезок лежит на биссектрисе данного прямого угла.

Ответ: Центр квадрата движется по отрезку биссектрисы данного прямого угла.