Номер 700, страница 210 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

700. Найдите геометрическое место:

а) вершин $C$ треугольников, имеющих общее основание $AB$, у которых сторона $AC$ равна данному отрезку;

б) середин хорд данной окружности, равных данному отрезку;

в) вершин равнобедренных треугольников с общим данным основанием;

г) середин отрезков длиной $a$, концы которых принадлежат двум взаимно перпендикулярным прямым;

д) точек, касательные из которых к данной окружности имеют данную длину.

а) вершин С треугольников, имеющих общее основание АВ, у которых сторона АС равна данному отрезку;

Пусть дан отрезок АВ и другой отрезок, длина которого равна $d$. Мы ищем геометрическое место точек С, таких что треугольник АВС имеет основание АВ, а длина стороны АС равна $d$.

Условие $AC = d$ означает, что точка С всегда находится на постоянном расстоянии $d$ от фиксированной точки А.

По определению, геометрическое место точек плоскости, находящихся на заданном расстоянии от данной точки, является окружностью. В данном случае центром окружности является точка А, а радиусом — длина данного отрезка $d$.

Ответ: Искомое геометрическое место точек — это окружность с центром в точке А и радиусом, равным длине данного отрезка.

б) середин хорд данной окружности, равных данному отрезку;

Пусть дана окружность с центром в точке О и радиусом $R$. Пусть также дана длина хорды $l$. Рассмотрим любую хорду АВ данной окружности, длина которой равна $l$, и пусть М — ее середина.

Соединим центр окружности О с точкой М. Отрезок ОМ является медианой в равнобедренном треугольнике АОВ (поскольку $OA = OB = R$). В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также и высотой. Следовательно, треугольник ОМА является прямоугольным с прямым углом М.

По теореме Пифагора для треугольника ОМА: $OA^2 = OM^2 + AM^2$.

Мы знаем, что $OA = R$ и $AM = \frac{AB}{2} = \frac{l}{2}$. Подставив эти значения, получим:

$R^2 = OM^2 + (\frac{l}{2})^2$

Отсюда находим расстояние ОМ:

$OM = \sqrt{R^2 - (\frac{l}{2})^2}$

Поскольку $R$ и $l$ — заданные величины, расстояние ОМ от центра окружности до середины хорды является постоянной величиной для всех таких хорд. Следовательно, все середины хорд данной длины равноудалены от центра О.

Заметим, что такие хорды существуют только при условии $l \le 2R$. Если $l > 2R$, искомое множество точек пусто. Если $l=2R$, хорда является диаметром, и ее середина совпадает с центром окружности О.

Ответ: Искомое геометрическое место точек — это окружность, концентрическая данной, с радиусом $r = \sqrt{R^2 - (l/2)^2}$, где $R$ — радиус данной окружности, а $l$ — длина данной хорды. Если $l=2R$, то ГМТ — это точка, совпадающая с центром данной окружности.

в) вершин равнобедренных треугольников с общим данным основанием;

Пусть дано основание АВ. Мы ищем геометрическое место вершин С таких, что треугольник АВС является равнобедренным с основанием АВ.

По определению равнобедренного треугольника с основанием АВ, его боковые стороны равны, то есть $AC = BC$.

Это означает, что любая такая вершина С равноудалена от концов отрезка А и В.

Геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек, есть серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти точки.

Для того чтобы треугольник АВС был невырожденным, точка С не должна лежать на прямой АВ. Серединный перпендикуляр пересекает прямую АВ в середине отрезка АВ. Эту точку следует исключить.

Ответ: Искомое геометрическое место точек — это серединный перпендикуляр к данному основанию, за исключением середины самого основания.

г) середин отрезков длиной а, концы которых принадлежат двум взаимно перпендикулярным прямым;

Пусть даны две взаимно перпендикулярные прямые $m$ и $n$, пересекающиеся в точке О. Пусть АВ — отрезок постоянной длины $a$, концы которого лежат на этих прямых: точка А на прямой $m$, а точка В на прямой $n$. Пусть М — середина отрезка АВ.

Рассмотрим треугольник АОВ. Так как прямые $m$ и $n$ перпендикулярны, угол $\angle AOB$ — прямой, и треугольник АОВ является прямоугольным. Отрезок АВ является его гипотенузой.

Отрезок ОМ соединяет вершину прямого угла О с серединой гипотенузы М. По свойству медианы прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе, ее длина равна половине длины гипотенузы.

Таким образом, $OM = \frac{1}{2}AB = \frac{a}{2}$.

Поскольку длина $a$ постоянна, то и расстояние ОМ от точки М до точки О также постоянно и равно $\frac{a}{2}$. Это означает, что все точки М лежат на окружности с центром в точке пересечения прямых О и радиусом $r = \frac{a}{2}$.

Ответ: Искомое геометрическое место точек — это окружность с центром в точке пересечения данных прямых и радиусом, равным половине длины данного отрезка ($a/2$).

д) точек, касательные из которых к данной окружности имеют данную длину.

Пусть дана окружность с центром в точке О и радиусом $R$. Пусть $l$ — данная длина касательной. Мы ищем геометрическое место точек Р, таких что длина касательной, проведенной из Р к окружности, равна $l$.

Пусть Т — точка касания на окружности. Тогда отрезок РТ — это касательная, и по условию $PT = l$.

Радиус ОТ, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной РТ. Следовательно, треугольник ОТР является прямоугольным с прямым углом Т.

По теореме Пифагора для треугольника ОТР: $OP^2 = OT^2 + PT^2$.

Нам известно, что $OT = R$ и $PT = l$. Подставляем эти значения в уравнение:

$OP^2 = R^2 + l^2$

$OP = \sqrt{R^2 + l^2}$

Поскольку $R$ и $l$ являются постоянными величинами, расстояние ОР от точки Р до центра О также является постоянной величиной.

Следовательно, все такие точки Р лежат на окружности с центром в точке О.

Ответ: Искомое геометрическое место точек — это окружность, концентрическая данной, с радиусом $r = \sqrt{R^2 + l^2}$, где $R$ — радиус данной окружности, а $l$ — данная длина касательной.