Номер 12, страница 203 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

12. Как разделить отрезок на $n$ отрезков-долей; отрезок в отношении $m : n$?

Как разделить отрезок на n отрезков-долей

Задача решается с помощью теоремы Фалеса. Для разделения данного отрезка $AB$ на $n$ равных частей (долей) необходимо выполнить следующие построения с помощью циркуля и линейки:

1. Из одного из концов отрезка, например, из точки $A$, провести произвольный луч $l$, не лежащий на прямой $AB$.
2. На луче $l$, начиная от точки $A$, отложить циркулем $n$ равных между собой отрезков произвольной длины. Обозначим концы этих отрезков как $A_1, A_2, \dots, A_n$. Таким образом, $AA_1 = A_1A_2 = \dots = A_{n-1}A_n$.
3. Соединить точку $A_n$ (последнюю из отложенных точек) с другим концом исходного отрезка — точкой $B$. Получим отрезок $A_nB$.
4. Через точки $A_1, A_2, \dots, A_{n-1}$, отложенные на луче $l$, провести прямые, параллельные отрезку $A_nB$.
5. Точки пересечения этих параллельных прямых с исходным отрезком $AB$ разделят его на $n$ равных частей. Если обозначить точки пересечения как $B_1, B_2, \dots, B_{n-1}$, то получим $AB_1 = B_1B_2 = \dots = B_{n-1}B$.

Согласно обобщенной теореме Фалеса, если параллельные прямые пересекают стороны угла и отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне. В данном случае, угол образован лучом $l$ и отрезком $AB$, а прямые, проходящие через точки $A_1, \dots, A_{n-1}$, параллельны $A_nB$.

Ответ: Отрезок делится на $n$ равных частей путем построения вспомогательного луча, откладывания на нем $n$ равных отрезков и проведения параллельных прямых, как описано выше.

Как разделить отрезок в отношении m : n

Эта задача также решается на основе теоремы Фалеса и является обобщением предыдущей. Чтобы разделить отрезок $AB$ в заданном отношении $m:n$, то есть найти на нем такую точку $C$, что $AC:CB = m:n$, нужно выполнить следующие шаги:

1. Из конца отрезка, например, из точки $A$, провести произвольный луч $l$, не совпадающий с прямой $AB$.
2. На этом луче отложить с помощью циркуля $m+n$ равных отрезков произвольной длины. Обозначим точки деления на луче как $P_1, P_2, \dots, P_m, \dots, P_{m+n}$.
3. Соединить последнюю точку $P_{m+n}$ с другим концом исходного отрезка — точкой $B$.
4. Найти на луче $l$ точку $P_m$, которая является концом $m$-го отрезка.
5. Через точку $P_m$ провести прямую, параллельную отрезку $P_{m+n}B$.
6. Точка $C$, в которой эта прямая пересечет отрезок $AB$, и будет искомой точкой.

Рассмотрим треугольники $\triangle AP_mC$ и $\triangle AP_{m+n}B$. Они подобны по двум углам (угол при вершине $A$ общий, а углы $\angle AP_mC$ и $\angle AP_{m+n}B$ равны как соответственные при параллельных прямых $P_mC$ и $P_{m+n}B$ и секущей $AP_{m+n}$).

Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон:

$\frac{AC}{AP_m} = \frac{AB}{AP_{m+n}}$

Отсюда $AC = AB \cdot \frac{AP_m}{AP_{m+n}}$. Так как мы откладывали равные отрезки, то $AP_m = m \cdot k$ и $AP_{m+n} = (m+n) \cdot k$, где $k$ — длина одного отложенного отрезка.

Следовательно, $AC = AB \cdot \frac{m}{m+n}$.

Тогда длина второго отрезка $CB$ равна $CB = AB - AC = AB - AB \cdot \frac{m}{m+n} = AB \cdot (1 - \frac{m}{m+n}) = AB \cdot \frac{n}{m+n}$.

Таким образом, отношение длин отрезков $AC$ и $CB$ равно:

$\frac{AC}{CB} = \frac{AB \cdot \frac{m}{m+n}}{AB \cdot \frac{n}{m+n}} = \frac{m}{n}$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Искомая точка $C$, делящая отрезок $AB$ в отношении $m:n$, находится путем построения вспомогательного луча, на котором откладывается $m+n$ равных долей, и проведения параллельной прямой через $m$-ю долю, как описано выше.