Номер 9, страница 203 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

9. Как построить прямую, которая проходит через данную точку и перпендикулярна данной прямой; прямую, которая проходит через данную точку и параллельна данной прямой?

Как построить прямую, которая проходит через данную точку и перпендикулярна данной прямой

Для построения перпендикулярной прямой с помощью циркуля и линейки без делений рассмотрим два возможных случая.

Случай 1: Данная точка P не лежит на данной прямой l.

1. Установите острие циркуля в точку $P$.
2. Проведите дугу таким радиусом, чтобы она пересекла прямую $l$ в двух различных точках. Обозначим эти точки пересечения $A$ и $B$.
3. Установите острие циркуля в точку $A$ и проведите дугу с противоположной стороны от прямой $l$ относительно точки $P$. Раствор циркуля должен быть больше половины длины отрезка $AB$.
4. Не меняя раствора циркуля, установите его острие в точку $B$ и проведите еще одну дугу так, чтобы она пересекла предыдущую. Обозначим точку их пересечения $Q$.
5. С помощью линейки проведите прямую через точки $P$ и $Q$.

Прямая $PQ$ является искомой, так как она проходит через точку $P$ и перпендикулярна прямой $l$. Это следует из свойства, что все точки, равноудаленные от концов отрезка ($A$ и $B$), лежат на его серединном перпендикуляре. По построению, точки $P$ и $Q$ равноудалены от $A$ и $B$, следовательно, прямая $PQ$ — серединный перпендикуляр к отрезку $AB$, а значит, $PQ \perp l$.

Случай 2: Данная точка P лежит на данной прямой l.

1. Установите острие циркуля в точку $P$.
2. Проведите окружность (или две дуги) произвольного, но фиксированного радиуса, которая пересечет прямую $l$ в двух точках по разные стороны от $P$. Обозначим их $A$ и $B$.
3. Установите острие циркуля в точку $A$. Увеличьте раствор циркуля (он должен быть больше радиуса $AP$) и проведите дугу над или под прямой $l$.
4. Не меняя раствора циркуля, установите его острие в точку $B$ и проведите вторую дугу так, чтобы она пересекла первую. Обозначим точку их пересечения $Q$.
5. С помощью линейки проведите прямую через точки $P$ и $Q$.

Прямая $PQ$ является искомой. Она перпендикулярна прямой $l$ в точке $P$, так как является серединным перпендикуляром к отрезку $AB$, для которого точка $P$ — середина.

Ответ: Вышеописанные алгоритмы позволяют построить прямую, проходящую через данную точку и перпендикулярную данной прямой, с помощью циркуля и линейки.

Как построить прямую, которая проходит через данную точку и параллельна данной прямой

Пусть дана прямая $l$ и точка $P$, не лежащая на этой прямой. Если точка лежит на прямой, то искомая параллельная прямая совпадает с данной. Рассмотрим два основных метода построения.

Метод 1: Копирование угла (построение равных накрест лежащих углов)

1. Через точку $P$ и любую произвольную точку на прямой $l$ (назовем ее $A$) проведите вспомогательную прямую-секущую.
2. Установите острие циркуля в точку $A$ и проведите дугу, которая пересечет прямую $l$ в точке $B$ и секущую $AP$ в точке $C$.
3. Не меняя раствора циркуля, установите его острие в точку $P$ и проведите такую же дугу с противоположной стороны от секущей $AP$. Эта дуга пересечет секущую в точке $D$.
4. Измерьте циркулем расстояние между точками $B$ и $C$.
5. Сохраняя этот раствор циркуля, установите его острие в точку $D$ и проведите короткую дугу так, чтобы она пересекла дугу, построенную в шаге 3. Обозначим точку пересечения $E$.
6. С помощью линейки проведите прямую через точки $P$ и $E$.

Прямая $PE$ параллельна прямой $l$. Это следует из признака параллельности прямых: если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны (по построению $\angle EPA = \angle CAB$), то прямые параллельны.

Метод 2: Построение двух перпендикуляров

1. Используя алгоритм, описанный в первой части (Случай 1), постройте прямую $m$, проходящую через точку $P$ и перпендикулярную прямой $l$.
2. Теперь, используя алгоритм из первой части (Случай 2), постройте прямую $n$, проходящую через точку $P$ и перпендикулярную построенной прямой $m$.

Прямая $n$ параллельна исходной прямой $l$. Это следует из теоремы: две прямые ($l$ и $n$), перпендикулярные одной и той же третьей прямой ($m$), параллельны между собой.

Ответ: Вышеописанные алгоритмы позволяют построить прямую, проходящую через данную точку и параллельную данной прямой, с помощью циркуля и линейки.