Номер 13, страница 203 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

13. Как построить отрезок, четвертый пропорциональный трем данным отрезкам; средний пропорциональный двум данным отрезкам; отрезок, длина которого выражается через длины $a$ и $b$ данных отрезков по формуле $\sqrt{a^2 \pm b^2}$?

Как построить отрезок, четвертый пропорциональный трем данным отрезкам

Пусть даны три отрезка с длинами $a$, $b$ и $c$. Требуется построить отрезок $x$ такой, что выполняется пропорция $a : b = c : x$, или, что то же самое, $\frac{a}{b} = \frac{c}{x}$. Из этой пропорции следует, что $x = \frac{b \cdot c}{a}$. Построение основано на обобщенной теореме Фалеса (теореме о пропорциональных отрезках).

Порядок построения:

1. Начертим произвольный угол с вершиной в точке $O$.

2. На одной стороне угла отложим от вершины $O$ отрезок $OA$, равный по длине отрезку $a$.

3. На другой стороне угла отложим от вершины $O$ отрезок $OB$, равный по длине отрезку $b$.

4. Соединим точки $A$ и $B$ отрезком.

5. На той же стороне, где лежит точка $A$, отложим от вершины $O$ отрезок $OC$, равный по длине отрезку $c$.

6. Через точку $C$ проведем прямую, параллельную отрезку $AB$. Эта прямая пересечет вторую сторону угла в некоторой точке $D$.

Обоснование:

Рассмотрим угол с вершиной $O$ и прямые $AB$ и $CD$, пересекающие его стороны. Так как по построению $CD \parallel AB$, то по обобщенной теореме Фалеса треугольники $\triangle OAB$ и $\triangle OCD$ подобны. Из подобия треугольников следует пропорциональность их сторон:

$\frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD}$

Подставив длины отрезков, получим:

$\frac{a}{c} = \frac{b}{x}$

Это не совсем та пропорция. Давайте скорректируем построение для получения $a:b = c:x$.

Исправленный порядок построения:

1. Начертим произвольный угол с вершиной в точке $O$.

2. На одной стороне угла отложим от вершины $O$ отрезок $OA$, равный $a$, и на той же стороне от точки $A$ отложим отрезок $AC$, равный $c$. Таким образом, $OC = a+c$.

3. На другой стороне угла отложим от вершины $O$ отрезок $OB$, равный $b$.

4. Соединим точки $A$ и $B$.

5. Через точку $C$ проведем прямую, параллельную $AB$. Она пересечет вторую сторону угла в точке $D$.

Обоснование для исправленного построения:

По теореме о пропорциональных отрезках, так как $CD \parallel AB$, то $\frac{OA}{AC} = \frac{OB}{BD}$. Подставив длины, получаем $\frac{a}{c} = \frac{b}{BD}$. Отсюда искомый отрезок $x = BD = \frac{b \cdot c}{a}$. Однако, исходная пропорция была $a:b = c:x$. Давайте используем подобие треугольников из первого варианта, но правильно расставим отрезки.

Окончательный и самый простой способ:

1. Начертим произвольный угол с вершиной в точке $O$.

2. На одной стороне угла отложим от вершины отрезок $OA = a$.

3. На этой же стороне отложим от вершины отрезок $OB = b$.

4. На другой стороне угла отложим от вершины отрезок $OC = c$.

5. Соединим точки $A$ и $C$.

6. Через точку $B$ проведем прямую, параллельную отрезку $AC$. Эта прямая пересечет вторую сторону угла в точке $D$. Отрезок $CD$ будет искомым. Нет, это неверно. Искомым будет отрезок $OD$.

Обоснование: Треугольники $\triangle OAC$ и $\triangle OBD$ подобны. Следовательно, $\frac{OA}{OB} = \frac{OC}{OD}$. Подставляем: $\frac{a}{b} = \frac{c}{OD}$. Отрезок $OD$ и есть искомый отрезок $x$.

Ответ: Отрезок $OD$, построенный последним способом, является искомым четвертым пропорциональным отрезком.

Как построить отрезок, средний пропорциональный двум данным отрезкам

Пусть даны два отрезка с длинами $a$ и $b$. Требуется построить отрезок $x$, который является их средним пропорциональным (или средним геометрическим), то есть для которого выполняется пропорция $a : x = x : b$, или $x^2 = a \cdot b$. Построение основано на свойстве высоты в прямоугольном треугольнике.

Порядок построения:

1. На прямой отложим последовательно два отрезка: $AH = a$ и $HB = b$. Таким образом, мы получим отрезок $AB$ длиной $a+b$.

2. Построим полуокружность, для которой отрезок $AB$ является диаметром. Для этого найдем середину $O$ отрезка $AB$ и проведем дугу с центром в $O$ и радиусом $OA = OB$.

3. В точке $H$ (точка соединения отрезков $a$ и $b$) восстановим перпендикуляр к прямой $AB$.

4. Точку пересечения этого перпендикуляра с полуокружностью обозначим $C$.

Обоснование:

Рассмотрим треугольник $\triangle ACB$. Угол $\angle ACB$ является вписанным и опирается на диаметр $AB$, следовательно, он прямой ($\angle ACB = 90^\circ$). $CH$ по построению является высотой, проведенной из вершины прямого угла к гипотенузе. По известной теореме о метрических соотношениях в прямоугольном треугольнике, квадрат высоты, проведенной к гипотенузе, равен произведению проекций катетов на гипотенузу: $CH^2 = AH \cdot HB$.

Подставив длины отрезков, получим $x^2 = a \cdot b$, откуда $x = \sqrt{a \cdot b}$.

Ответ: Отрезок $CH$ является искомым средним пропорциональным.

Как построить отрезок, длина которого выражается через длины a и b данных отрезков по формуле $\sqrt{a^2 \pm b^2}$

Это задание разбивается на два случая, и оба решаются с помощью теоремы Пифагора.

1. Построение отрезка длиной $x = \sqrt{a^2 + b^2}$

Это выражение соответствует длине гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами $a$ и $b$.

Порядок построения:

1. Построим прямой угол с вершиной в точке $C$.

2. На одной стороне угла отложим от вершины отрезок $CA = a$.

3. На другой стороне угла отложим от вершины отрезок $CB = b$.

4. Соединим точки $A$ и $B$.

Обоснование: В прямоугольном треугольнике $\triangle ACB$ по теореме Пифагора $AB^2 = CA^2 + CB^2$. Подставив длины, получаем $x^2 = a^2 + b^2$, следовательно, длина отрезка $AB$ равна $x = \sqrt{a^2 + b^2}$.

2. Построение отрезка длиной $x = \sqrt{a^2 - b^2}$

Это выражение (имеющее смысл только при $a > b$) соответствует длине катета прямоугольного треугольника, у которого гипотенуза равна $a$, а другой катет равен $b$.

Порядок построения:

1. Начертим отрезок $AB$ длиной $a$.

2. Построим полуокружность, для которой отрезок $AB$ является диаметром.

3. Из точки $B$ (или $A$) проведем дугу окружности радиусом $b$. Эта дуга пересечет полуокружность в некоторой точке $C$.

4. Соединим точки $A$ и $C$.

Обоснование: Треугольник $\triangle ACB$ является прямоугольным, так как его вершина $C$ лежит на окружности, а сторона $AB$ является диаметром ($\angle ACB = 90^\circ$). По теореме Пифагора $AC^2 + BC^2 = AB^2$. Подставив известные длины, получаем $x^2 + b^2 = a^2$, откуда $x^2 = a^2 - b^2$ и $x = \sqrt{a^2 - b^2}$.

Ответ: В первом случае искомым является отрезок $AB$ (гипотенуза), во втором — отрезок $AC$ (катет).