Номер 703, страница 210 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

703. Найдите точку, принадлежащую:

а) данной прямой и равноудаленную от двух данных прямых;

б) стороне треугольника и равноудаленную от двух других его сторон.

а) данной прямой и равноудаленную от двух данных прямых;

Пусть даны три прямые: l, m и n. Необходимо найти точку X, которая одновременно принадлежит прямой l и является равноудаленной от прямых m и n.

Задача сводится к нахождению пересечения прямой l с геометрическим местом точек (ГМТ), равноудаленных от прямых m и n. Это ГМТ зависит от взаимного расположения прямых m и n.

Случай 1: Прямые m и n пересекаются.
В этом случае ГМТ, равноудаленных от них, — это две перпендикулярные прямые, которые являются биссектрисами смежных и вертикальных углов, образованных при пересечении m и n. Искомая точка (или точки) — это точка пересечения прямой l с одной или обеими этими биссектрисами. В зависимости от положения прямой l, может быть ноль, одна, две или бесконечно много (если l совпадает с одной из биссектрис) точек-решений.

Случай 2: Прямые m и n параллельны.
В этом случае ГМТ, равноудаленных от них, — это одна прямая, параллельная m и n и проходящая ровно посередине между ними. Искомая точка — это точка пересечения прямой l с этой срединной прямой. Такая точка будет одна, если l не параллельна m и n. Если l параллельна срединной прямой, но не совпадает с ней, решений нет. Если же l совпадает со срединной прямой, то любая точка на l является решением.

Ответ: Искомая точка является точкой пересечения данной прямой с биссектрисами углов, образованных двумя другими данными прямыми (если они пересекаются), или с прямой, параллельной двум другим данным прямым и проходящей посередине между ними (если они параллельны).

б) стороне треугольника и равноудаленную от двух других его сторон.

Пусть дан треугольник $ABC$. Требуется найти точку, которая принадлежит одной его стороне, например $AC$, и при этом равноудалена от двух других его сторон, $AB$ и $BC$.

Геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от двух пересекающихся прямых (в данном случае, прямых, содержащих стороны угла $B$), есть биссектриса этого угла. Так как искомая точка находится на стороне треугольника, она лежит внутри угла $B$. Следовательно, она должна принадлежать биссектрисе внутреннего угла $B$ треугольника.

Таким образом, искомая точка должна удовлетворять двум условиям одновременно:
1. Принадлежать стороне $AC$.
2. Принадлежать биссектрисе угла $B$.

Точка, удовлетворяющая обоим условиям, — это точка пересечения биссектрисы угла $B$ со стороной $AC$. В любом треугольнике биссектриса внутреннего угла всегда пересекает противолежащую сторону в одной-единственной точке. Следовательно, такая точка всегда существует и она единственна.
Ответ: Это точка пересечения биссектрисы угла треугольника, противолежащего данной стороне, с этой стороной.