Номер 710, страница 212 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

710. Есть две точки A и B, расстояние между которыми равно 2. Найдите геометрическое место таких точек X, что:

a) $AX^2 - BX^2 = 1$;

б) $AX^2 + BX^2 = 10$.

Для решения задачи введем декартову систему координат. Расположим начало координат O(0; 0) в середине отрезка AB. Пусть ось Ox совпадает с прямой, на которой лежит отрезок AB. Так как по условию расстояние между точками A и B равно 2, то их координаты будут A(-1; 0) и B(1; 0). Обозначим координаты искомой точки X как (x; y).

Квадрат расстояния от точки X до точки A вычисляется по формуле: $AX^2 = (x - (-1))^2 + (y - 0)^2 = (x + 1)^2 + y^2$.

Квадрат расстояния от точки X до точки B: $BX^2 = (x - 1)^2 + (y - 0)^2 = (x - 1)^2 + y^2$.

a) $AX^2 - BX^2 = 1$

Подставим выражения для квадратов расстояний в данное уравнение:

$((x + 1)^2 + y^2) - ((x - 1)^2 + y^2) = 1$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$(x^2 + 2x + 1 + y^2) - (x^2 - 2x + 1 + y^2) = 1$

$x^2 + 2x + 1 + y^2 - x^2 + 2x - 1 - y^2 = 1$

Приведем подобные слагаемые:

$4x = 1$

$x = \frac{1}{4}$

Это уравнение задает прямую, перпендикулярную оси Ox (а значит, и отрезку AB) и проходящую через все точки с абсциссой $1/4$. Эта прямая пересекает отрезок AB в точке, которая находится на расстоянии $1/4$ от его середины (точки O) в сторону точки B.

Ответ: Прямая, перпендикулярная отрезку AB и проходящая через точку, удаленную от середины AB на расстояние $\frac{1}{4}$ в сторону точки B.

б) $AX^2 + BX^2 = 10$

Подставим выражения для квадратов расстояний:

$((x + 1)^2 + y^2) + ((x - 1)^2 + y^2) = 10$

Раскроем скобки и упростим:

$(x^2 + 2x + 1 + y^2) + (x^2 - 2x + 1 + y^2) = 10$

Приведем подобные слагаемые:

$2x^2 + 2y^2 + 2 = 10$

Вычтем 2 из обеих частей и разделим на 2:

$2x^2 + 2y^2 = 8$

$x^2 + y^2 = 4$

Это каноническое уравнение окружности с центром в начале координат O(0; 0) и радиусом $R = \sqrt{4} = 2$. Так как начало координат мы выбрали в середине отрезка AB, то центр окружности — середина AB.

Этот результат также следует из формулы для длины медианы. Для любого треугольника ABX с медианой XO (где O — середина AB) справедливо равенство $AX^2 + BX^2 = 2(XO^2 + AO^2)$. По условию, $AX^2 + BX^2 = 10$ и $AO = AB/2 = 1$.

$10 = 2(XO^2 + 1^2)$

$5 = XO^2 + 1$

$XO^2 = 4$

$XO = 2$

Расстояние от точки X до точки O постоянно и равно 2, что и является определением окружности с центром O и радиусом 2.

Ответ: Окружность с центром в середине отрезка AB и радиусом 2.