Номер 712, страница 212 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

712. Есть точка $M$ на одной из двух прямых $a$ и $b$, которые пересекаются под углом в $45^\circ$. Точка $X$ выбирается так, что прямой $X_1 X_2$, где $X_1$ и $X_2$ — образы точки $X$ при симметрии относительно прямых $a$ и $b$, принадлежит точка $M$. Найдите геометрическое место точек $X$.

Пусть $O$ — точка пересечения прямых $a$ и $b$. Пусть $S_a$ и $S_b$ — осевые симметрии относительно прямых $a$ и $b$ соответственно. По условию, $X_1 = S_a(X)$ и $X_2 = S_b(X)$.

Из определения осевой симметрии следует, что расстояние от любой точки до центра симметрии (в данном случае, до прямой) равно расстоянию от ее образа до центра симметрии. Также, для любой точки $P$ на оси симметрии, расстояние $PX = PX'$, где $X'$ — образ $X$. Так как точка $O$ лежит на обеих прямых $a$ и $b$, то $OX = OX_1$ и $OX = OX_2$. Следовательно, $OX_1 = OX_2$, и точки $X_1$ и $X_2$ лежат на окружности с центром в точке $O$ и радиусом $OX$.

Рассмотрим композицию двух симметрий $S_b \circ S_a$. Это преобразование является поворотом вокруг точки пересечения прямых $O$ на угол, равный удвоенному углу между прямыми $a$ и $b$. Так как угол между $a$ и $b$ равен $45^\circ$, угол поворота составляет $2 \times 45^\circ = 90^\circ$.

Точку $X_2$ можно получить из точки $X_1$ следующим образом: $X = S_a(X_1)$, тогда $X_2 = S_b(X) = S_b(S_a(X_1))$. Таким образом, точка $X_2$ является образом точки $X_1$ при повороте на $90^\circ$ вокруг точки $O$. Отсюда следует, что треугольник $\triangle X_1OX_2$ является равнобедренным прямоугольным треугольником с прямым углом при вершине $O$. В этом треугольнике углы при гипотенузе $X_1X_2$ равны: $\angle OX_1X_2 = \angle OX_2X_1 = 45^\circ$.

По условию, точка $M$ лежит на прямой $X_1X_2$. Это означает, что угол $\angle OX_1M$ равен либо $\angle OX_1X_2 = 45^\circ$, либо $180^\circ - \angle OX_1X_2 = 135^\circ$. Геометрическое место точек $P$, из которых отрезок $OM$ виден под постоянным углом ($\alpha$ или $180^\circ - \alpha$), представляет собой окружность, проходящую через точки $O$ и $M$. Следовательно, геометрическое место точек $X_1$ — это такая окружность (назовем ее $\Gamma_1$).

Искомое геометрическое место точек $X$ связано с местом точек $X_1$ преобразованием симметрии: $X = S_a(X_1)$. Отражение окружности является окружностью. Значит, искомое ГМТ — это окружность $\Gamma$, которая является образом окружности $\Gamma_1$ при симметрии относительно прямой $a$.

Опишем полученную окружность $\Gamma$. Пусть $M' = S_a(M)$ — образ точки $M$ при симметрии относительно прямой $a$. Так как $X=S_a(X_1)$, $O=S_a(O)$ (точка $O$ лежит на прямой $a$), то $\triangle OXM' = S_a(\triangle OX_1M)$. Симметрия сохраняет углы, поэтому $\angle OXM' = \angle OX_1M$. Таким образом, для любой точки $X$ из искомого ГМТ выполняется условие: $\angle OXM' = 45^\circ$ или $135^\circ$.

Это означает, что искомое ГМТ — это окружность, из которой отрезок $OM'$ виден под углом $45^\circ$ (или $135^\circ$). Следует учесть вырожденный случай. Если $X=O$, то $X_1=O$ и $X_2=O$. В этом случае прямая $X_1X_2$ не определена. Окружность, являющаяся решением, проходит через точку $O$, поэтому эту точку следует исключить из ГМТ.

Рассмотрим два возможных случая расположения точки $M$:
1. Точка $M$ лежит на прямой $a$. В этом случае $M' = S_a(M) = M$. Искомое ГМТ — это окружность, проходящая через точки $O$ и $M$, из которой отрезок $OM$ виден под углом $45^\circ$ (или $135^\circ$), за исключением точки $O$.
2. Точка $M$ лежит на прямой $b$. В этом случае $M'$ — это точка, симметричная $M$ относительно прямой $a$. Искомое ГМТ — это окружность, проходящая через точки $O$ и $M'$, из которой отрезок $OM'$ виден под углом $45^\circ$ (или $135^\circ$), за исключением точки $O$. Можно также показать, что центром этой окружности будет проекция точки $M$ на прямую $a$, а радиус будет равен расстоянию от этой проекции до точки $O$.

Ответ: Искомое геометрическое место точек — это окружность, из которой отрезок $OM'$ виден под углом $45^\circ$ (или $135^\circ$), где $M'$ — точка, симметричная точке $M$ относительно прямой $a$. Из этой окружности необходимо исключить точку $O$.