Номер 717, страница 212 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

717. Через ортоцентр $H$ равностороннего треугольника $ABC$ проведена прямая $m$, и на нее опущены перпендикуляры $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ из вершин $A$, $B$, $C$. Найдите $HC_1$, учитывая, что $HA_1 = 6$ и $HB_1 = 1$.

В равностороннем треугольнике $ABC$ ортоцентр $H$ совпадает с его центром тяжести (центроидом). Ключевое свойство центроида заключается в том, что сумма векторов, проведенных из него к вершинам треугольника, равна нулевому вектору:$$ \vec{HA} + \vec{HB} + \vec{HC} = \vec{0} $$

Проведем проекцию этого векторного равенства на прямую $m$. Так как операция проецирования является линейной, проекция суммы векторов равна сумме их проекций. Точки $A_1, B_1, C_1$ являются проекциями вершин $A, B, C$ на прямую $m$. Точка $H$ лежит на прямой $m$, поэтому она является проекцией самой себя. Таким образом, проекцией вектора $\vec{HA}$ на прямую $m$ является вектор $\vec{HA_1}$, проекцией $\vec{HB}$ — вектор $\vec{HB_1}$, а проекцией $\vec{HC}$ — вектор $\vec{HC_1}$. Проекция нулевого вектора есть нулевой вектор. В результате получаем следующее равенство для векторов, лежащих на прямой $m$:$$ \vec{HA_1} + \vec{HB_1} + \vec{HC_1} = \vec{0} $$

Так как все три вектора $\vec{HA_1}, \vec{HB_1}, \vec{HC_1}$ коллинеарны (лежат на одной прямой $m$), можно перейти от векторного уравнения к скалярному. Для этого введем на прямой $m$ координатную ось с началом в точке $H$. Пусть $a_1, b_1, c_1$ — это координаты точек $A_1, B_1, C_1$ на этой оси. Тогда скалярное уравнение имеет вид:$$ a_1 + b_1 + c_1 = 0 $$

Из условия задачи известны длины отрезков $HA_1$ и $HB_1$, которые равны модулям соответствующих координат:$$ HA_1 = |a_1| = 6 $$$$ HB_1 = |b_1| = 1 $$

Требуется найти длину отрезка $HC_1$, которая равна $|c_1|$. Из скалярного уравнения выразим $c_1$:$c_1 = -(a_1 + b_1)$. Следовательно, искомая длина равна:$$ HC_1 = |c_1| = |-(a_1 + b_1)| = |a_1 + b_1| $$

Значение этой суммы зависит от знаков координат $a_1$ и $b_1$, то есть от того, лежат ли точки $A_1$ и $B_1$ по одну или по разные стороны от точки $H$ на прямой $m$. Так как эта информация в условии задачи отсутствует, необходимо рассмотреть два возможных случая.

Случай 1: Точки $A_1$ и $B_1$ лежат по одну сторону от $H$.В этом случае их координаты $a_1$ и $b_1$ имеют одинаковые знаки. Например, $a_1=6$ и $b_1=1$, или $a_1=-6$ и $b_1=-1$. Тогда искомая длина равна:$$ HC_1 = |a_1+b_1| = |6+1| = 7 $$

Случай 2: Точки $A_1$ и $B_1$ лежат по разные стороны от $H$.В этом случае их координаты $a_1$ и $b_1$ имеют противоположные знаки. Например, $a_1=6$ и $b_1=-1$, или $a_1=-6$ и $b_1=1$. Тогда искомая длина равна:$$ HC_1 = |a_1+b_1| = |6-1| = 5 $$

Оба случая являются геометрически возможными и не противоречат условию задачи. Таким образом, задача имеет два решения.

Ответ: 5 или 7.