Номер 711, страница 212 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

711. Есть прямой угол $A$ и прямая $l$, проведенная через вершину $A$. Точки $U$ и $V$ находятся на разных сторонах угла $A$ и отстоят от его вершины на 1. Точки $U_1$ и $V_1$ — образы точек $U$ и $V$ при симметрии относительно прямой $l$. Прямая, проведенная через точку $U_1$ параллельно прямой $AV$, пересекает прямую, проведенную через точку $V_1$ параллельно прямой $AU$, в точке $Y$. Найдите геометрическое место точек $Y$.

Для решения задачи воспользуемся векторным методом. Пусть вершина угла A является началом координат. Обозначим радиус-векторы точек $U$ и $V$ как $\vec{u} = \vec{AU}$ и $\vec{v} = \vec{AV}$ соответственно.

Согласно условию, угол $A$ — прямой, следовательно, векторы $\vec{u}$ и $\vec{v}$ ортогональны: $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$. Также по условию точки $U$ и $V$ отстоят от вершины на 1, значит, длины векторов равны единице: $|\vec{u}| = 1$ и $|\vec{v}| = 1$. Таким образом, $(\vec{u}, \vec{v})$ образуют ортонормированный базис на плоскости.

Точки $U_1$ и $V_1$ являются образами точек $U$ и $V$ при симметрии относительно прямой $l$, проходящей через начало координат A. Обозначим их радиус-векторы как $\vec{u_1} = \vec{AU_1}$ и $\vec{v_1} = \vec{AV_1}$. Симметрия является изометрией, поэтому она сохраняет длины векторов и углы между ними: $|\vec{u_1}| = |\vec{u}| = 1$, $|\vec{v_1}| = |\vec{v}| = 1$ и $\vec{u_1} \cdot \vec{v_1} = \vec{u} \cdot \vec{v} = 0$.

Точка $Y$ является точкой пересечения двух прямых:

1. Прямой, проходящей через точку $U_1$ параллельно прямой $AV$ (т.е. параллельно вектору $\vec{v}$).
2. Прямой, проходящей через точку $V_1$ параллельно прямой $AU$ (т.е. параллельно вектору $\vec{u}$).

Радиус-вектор $\vec{y} = \vec{AY}$ точки $Y$ должен удовлетворять векторным уравнениям этих прямых. Из определения следует, что существуют такие скаляры $k$ и $t$, что:
$\vec{y} - \vec{u_1} = t \cdot \vec{v}$
$\vec{y} - \vec{v_1} = k \cdot \vec{u}$
Отсюда получаем: $\vec{y} = \vec{u_1} + t\vec{v} = \vec{v_1} + k\vec{u}$.

Выразим радиус-вектор $\vec{y}$ в базисе $(\vec{u}, \vec{v})$: $\vec{y} = x_Y \vec{u} + y_Y \vec{v}$. Найдем координаты $x_Y$ и $y_Y$. Для этого спроецируем векторные равенства на базисные векторы.

Умножим скалярно уравнение $\vec{y} = \vec{u_1} + t\vec{v}$ на вектор $\vec{u}$:
$\vec{y} \cdot \vec{u} = (\vec{u_1} + t\vec{v}) \cdot \vec{u} = \vec{u_1} \cdot \vec{u} + t(\vec{v} \cdot \vec{u})$.
Поскольку $\vec{v} \cdot \vec{u} = 0$, получаем $\vec{y} \cdot \vec{u} = \vec{u_1} \cdot \vec{u}$.
С другой стороны, $\vec{y} \cdot \vec{u} = (x_Y \vec{u} + y_Y \vec{v}) \cdot \vec{u} = x_Y(\vec{u} \cdot \vec{u}) + y_Y(\vec{v} \cdot \vec{u}) = x_Y \cdot 1 + y_Y \cdot 0 = x_Y$.
Следовательно, $x_Y = \vec{u_1} \cdot \vec{u}$.

Аналогично, умножим скалярно уравнение $\vec{y} = \vec{v_1} + k\vec{u}$ на вектор $\vec{v}$:
$\vec{y} \cdot \vec{v} = (\vec{v_1} + k\vec{u}) \cdot \vec{v} = \vec{v_1} \cdot \vec{v} + k(\vec{u} \cdot \vec{v})$.
Поскольку $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$, получаем $\vec{y} \cdot \vec{v} = \vec{v_1} \cdot \vec{v}$.
С другой стороны, $\vec{y} \cdot \vec{v} = (x_Y \vec{u} + y_Y \vec{v}) \cdot \vec{v} = x_Y(\vec{u} \cdot \vec{v}) + y_Y(\vec{v} \cdot \vec{v}) = x_Y \cdot 0 + y_Y \cdot 1 = y_Y$.
Следовательно, $y_Y = \vec{v_1} \cdot \vec{v}$.

Теперь найдем связь между $x_Y$ и $y_Y$. Пусть прямая $l$ образует угол $\alpha$ с вектором $\vec{u}$. Так как $\vec{u} \perp \vec{v}$, угол между прямой $l$ и вектором $\vec{v}$ равен $\frac{\pi}{2} - \alpha$. При отражении вектор поворачивается на удвоенный угол между ним и осью симметрии.
Угол между векторами $\vec{u}$ и $\vec{u_1}$ равен $2\alpha$. Тогда:
$x_Y = \vec{u_1} \cdot \vec{u} = |\vec{u_1}||\vec{u}|\cos(2\alpha) = 1 \cdot 1 \cdot \cos(2\alpha) = \cos(2\alpha)$.
Угол между векторами $\vec{v}$ и $\vec{v_1}$ равен $2(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \pi - 2\alpha$. Тогда:
$y_Y = \vec{v_1} \cdot \vec{v} = |\vec{v_1}||\vec{v}|\cos(\pi - 2\alpha) = 1 \cdot 1 \cdot (-\cos(2\alpha)) = -\cos(2\alpha)$.

Таким образом, мы получили параметрическое задание координат точки $Y$:
$x_Y = \cos(2\alpha)$
$y_Y = -\cos(2\alpha)$
Отсюда следует, что $y_Y = -x_Y$. Это уравнение прямой в системе координат, заданной векторами $(\vec{u}, \vec{v})$.

Прямая $l$ может быть любой прямой, проходящей через $A$, поэтому угол $\alpha$ может принимать любое значение от $0$ до $\pi$. При этом $2\alpha$ пробегает значения от $0$ до $2\pi$, а $x_Y = \cos(2\alpha)$ принимает все значения из отрезка $[-1, 1]$.

Следовательно, искомое геометрическое место точек $Y$ — это отрезок прямой $y_Y = -x_Y$, концы которого соответствуют значениям $x_Y = -1$ и $x_Y = 1$.

• При $x_Y = -1$, $y_Y = 1$. Радиус-вектор этой точки $\vec{p_1} = -\vec{u} + \vec{v}$.
• При $x_Y = 1$, $y_Y = -1$. Радиус-вектор этой точки $\vec{p_2} = \vec{u} - \vec{v}$.

Этот отрезок проходит через вершину $A$ (при $\alpha = \pi/4$, $x_Y=y_Y=0$) и лежит на биссектрисе угла, смежного с углом $\angle UAV$.

Ответ: Геометрическое место точек Y — это отрезок, проходящий через вершину A. Если ввести систему координат так, что $A=(0,0)$, $U=(1,0)$, $V=(0,1)$, то искомое множество точек $Y(x,y)$ — это отрезок прямой $y=-x$, заключенный между точками $(-1, 1)$ и $(1, -1)$.