Номер 704, страница 211 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

704. Найдите геометрическое место точек, оканчивающихся на данной прямой и имеющих данную середину.

Для решения задачи определим заданные объекты и искомое множество. Пусть нам дана прямая $l$ и точка $M$. Мы ищем геометрическое место точек (ГМТ), которое представляет собой множество всех точек $P$ таких, что для каждой точки $P$ существует отрезок $PQ$, у которого точка $Q$ лежит на прямой $l$, а точка $M$ является его серединой.

Из определения середины отрезка следует, что для любой пары точек $P$ и $Q$, где $M$ — середина отрезка $PQ$, точка $P$ является образом точки $Q$ при центральной симметрии относительно центра $M$. Аналогично, точка $Q$ является образом точки $P$ при той же симметрии.

Поскольку по условию точка $Q$ пробегает всю прямую $l$, то множество всех соответствующих ей точек $P$ будет образом прямой $l$ при центральной симметрии с центром в точке $M$.

Центральная симметрия является видом движения (изометрии), которое преобразует прямую в прямую. Важным свойством центральной симметрии является то, что образ любой прямой при этом преобразовании — это прямая, параллельная исходной. Таким образом, искомое ГМТ — это некоторая прямая $l'$, параллельная данной прямой $l$.

Чтобы найти положение прямой $l'$, можно поступить следующим образом:

1. Выбрать на прямой $l$ произвольную точку $Q_1$.
2. Найти ее образ $P_1$ при симметрии относительно точки $M$. Для этого нужно провести луч $Q_1M$ и отложить на его продолжении за точку $M$ отрезок $MP_1$, равный отрезку $MQ_1$. Точка $P_1$ будет принадлежать искомому ГМТ.
3. Провести через точку $P_1$ прямую $l'$, параллельную прямой $l$. Эта прямая и будет искомым ГМТ.

Следует рассмотреть два случая:

1. Точка $M$ не лежит на прямой $l$. В этом случае прямая $l'$, являющаяся образом $l$, не совпадает с $l$. Прямая $l'$ параллельна $l$ и находится на таком же расстоянии от точки $M$, что и прямая $l$, но с противоположной стороны от нее.

2. Точка $M$ лежит на прямой $l$. В этом случае любая точка $Q$ на прямой $l$ при симметрии относительно точки $M$ (которая также лежит на $l$) перейдет в точку $P$, которая также будет лежать на прямой $l$. Таким образом, образ прямой $l$ совпадает с самой прямой $l$. Искомое ГМТ — это сама прямая $l$.

Ответ: Искомое геометрическое место точек — это прямая, параллельная данной прямой. Если данная точка (середина) лежит на данной прямой, то искомое геометрическое место точек совпадает с этой же прямой. Если данная точка не лежит на данной прямой, то искомое геометрическое место точек — это другая прямая, параллельная данной и расположенная на том же расстоянии от данной точки, но с противоположной стороны.