Номер 701, страница 210 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

701. Найдите геометрическое место центров окружностей, которые:

а) проходят через две данные точки;

б) касаются данной прямой в данной ее точке;

в) касаются данной окружности;

г) проходят через данную точку;

д) делят данную окружность пополам;

е) имеют с данной окружностью общую хорду данной длины;

ж) высекают на данной прямой хорды данной длины;

з) высекают на двух данных прямых хорды, равные данному отрезку;

и) имеют радиус данной длины и касаются данной прямой.

а) проходят через две данные точки;

Пусть даны две точки $A$ и $B$. Центр $O$ любой окружности, проходящей через эти точки, должен быть равноудален от них, так как $OA$ и $OB$ являются радиусами одной и той же окружности. Таким образом, $OA = OB$. Геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек, есть серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти точки.

Ответ: Серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему данные точки.

б) касаются данной прямой в данной ее точке;

Пусть дана прямая $l$ и точка $M$ на ней. Окружность с центром $O$ касается прямой $l$ в точке $M$. По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, отрезок $OM$ является радиусом и перпендикулярен прямой $l$. Это означает, что центр $O$ должен лежать на прямой, проходящей через точку $M$ и перпендикулярной прямой $l$.

Ответ: Прямая, перпендикулярная данной прямой и проходящая через данную точку касания.

в) касаются данной окружности;

Условие задачи не определяет радиус искомых окружностей. Если радиус может быть любым, то для любой точки плоскости (кроме центра данной окружности) можно построить окружность, касающуюся данной. Чтобы получить определенное геометрическое место, предположим, что радиус искомых окружностей является заданной величиной $r$.
Пусть дана окружность с центром $C$ и радиусом $R$. Пусть искомая окружность имеет центр $O$ и заданный радиус $r$.
1. При внешнем касании расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов: $OC = R + r$.
2. При внутреннем касании расстояние между центрами равно модулю разности их радиусов: $OC = |R - r|$.
Таким образом, центр $O$ находится на постоянном расстоянии от точки $C$. Геометрическое место таких точек — это окружность (или две окружности) с центром $C$.

Ответ: При условии, что радиус искомых окружностей является заданной величиной $r$, искомое место точек — это две окружности, концентрические с данной. Радиусы этих окружностей равны $R+r$ и $|R-r|$, где $R$ – радиус данной окружности. Если $r=R$, то одна из окружностей вырождается в точку — центр $C$.

г) проходят через данную точку;

Аналогично пункту (в), условие не определяет радиус искомых окружностей. Предположим, что искомые окружности имеют заданный радиус $r$.
Пусть дана точка $A$. Окружность с центром $O$ и радиусом $r$ проходит через точку $A$. Это означает, что расстояние от центра $O$ до точки $A$ равно радиусу, то есть $OA = r$. Геометрическое место точек $O$, находящихся на заданном расстоянии $r$ от данной точки $A$, есть окружность с центром в точке $A$ и радиусом $r$.

Ответ: При условии, что радиус искомых окружностей является заданной величиной $r$, искомое место точек — это окружность с центром в данной точке и радиусом $r$.

д) делят данную окружность пополам;

Окружность делит другую окружность пополам, если их общая хорда является диаметром второй окружности. Пусть дана окружность $\omega$ с центром $C$ и радиусом $R$. Пусть искомая окружность $\gamma$ с центром $O$ делит окружность $\omega$ пополам. Их общая хорда $AB$ является диаметром окружности $\omega$.
Рассмотрим треугольник $\triangle OAC$. Сторона $OA$ — это радиус окружности $\gamma$, обозначим его $r$. Сторона $AC$ — это радиус окружности $\omega$, равный $R$. Линия центров $OC$ перпендикулярна общей хорде $AB$. Так как $AB$ — диаметр $\omega$, его середина — точка $C$. Значит, прямая $OC$ перпендикулярна прямой $AB$ в точке $C$, то есть $\angle OCA = 90^\circ$.
По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $\triangle OAC$: $OC^2 + AC^2 = OA^2$, что дает $OC^2 + R^2 = r^2$.
Это уравнение связывает положение центра $O$ с радиусом $r$. Чтобы получить определенное ГМТ, предположим, что радиус искомых окружностей задан и равен $r_0$. Тогда $OC^2 = r_0^2 - R^2$. Для существования решения необходимо $r_0 \ge R$. Расстояние $OC$ постоянно: $OC = \sqrt{r_0^2 - R^2}$.

Ответ: При условии, что радиус искомых окружностей является заданной величиной $r_0$ (причем $r_0 \ge R$), искомое место точек — это окружность, концентрическая с данной, радиус которой равен $\sqrt{r_0^2 - R^2}$. Если $r_0 = R$, то ГМТ вырождается в точку — центр данной окружности.

е) имеют с данной окружностью общую хорду данной длины;

Пусть дана окружность $\omega$ с центром $C$ и радиусом $R$, и дана длина общей хорды $2l$. Пусть искомая окружность $\gamma$ имеет центр $O$. Расстояние от центра окружности до хорды длиной $2l$ определяется радиусом.
Для окружности $\omega$: расстояние от $C$ до хорды равно $d_C = \sqrt{R^2 - l^2}$ (требуется $R \ge l$).
Для окружности $\gamma$ с радиусом $r$: расстояние от $O$ до хорды равно $d_O = \sqrt{r^2 - l^2}$ (требуется $r \ge l$).
Линия центров $OC$ перпендикулярна общей хорде. Пусть $M$ — середина хорды. Точки $O, C, M$ лежат на одной прямой. Расстояние между центрами $OC = d_C + d_O$ или $OC = |d_C - d_O|$.
Так как радиус $r$ не задан, предположим, что он имеет постоянную величину $r_0$. Тогда $d_O$ постоянно. Расстояние $OC$ также постоянно и может принимать два значения.

Ответ: При условии, что радиус искомых окружностей является заданной величиной $r_0$ (при $r_0 \ge l$ и $R \ge l$), искомое место точек — это, как правило, две окружности, концентрические с данной. Их радиусы равны $ \sqrt{R^2 - l^2} + \sqrt{r_0^2 - l^2} $ и $ |\sqrt{R^2 - l^2} - \sqrt{r_0^2 - l^2}| $.

ж) высекают на данной прямой хорды данной длины;

Пусть дана прямая $l$ и длина хорды $2d$. Пусть искомая окружность имеет центр $O$ и радиус $r$. Расстояние $h$ от центра $O$ до прямой $l$ связано с радиусом и половиной длины хорды $d$ по теореме Пифагора: $h^2 + d^2 = r^2$.
Так как радиус $r$ не задан, предположим, что он является постоянной величиной $R_0$. Тогда расстояние от центра $O$ до прямой $l$ будет постоянным: $h = \sqrt{R_0^2 - d^2}$ (требуется $R_0 \ge d$).
Геометрическое место точек, находящихся на постоянном расстоянии от данной прямой, — это две прямые, параллельные данной.

Ответ: При условии, что радиус искомых окружностей является заданной величиной $R_0$ (при $R_0 \ge d$), искомое место точек — это две прямые, параллельные данной прямой и отстоящие от неё на расстояние $h = \sqrt{R_0^2 - d^2}$. Если $R_0 = d$, то ГМТ — это сама данная прямая.

з) высекают на двух данных прямых хорды, равные данному отрезку;

Пусть даны две прямые $l_1$ и $l_2$ и длина хорды $2d$. Пусть искомая окружность имеет центр $O$ и радиус $r$. Расстояние от центра $O$ до прямой $l_1$ равно $h_1 = \sqrt{r^2 - d^2}$. Расстояние от $O$ до $l_2$ равно $h_2 = \sqrt{r^2 - d^2}$.
Следовательно, $h_1 = h_2$. Это означает, что центр $O$ должен быть равноудален от прямых $l_1$ и $l_2$.
1. Если прямые пересекаются, то геометрическое место точек, равноудаленных от них, — это пара биссектрис углов, образованных этими прямыми.
2. Если прямые параллельны, то таким ГМТ является прямая, параллельная им и проходящая посередине между ними.
В этом случае задавать радиус не требуется, так как для любой точки $O$ на этом ГМТ можно подобрать соответствующий радиус $r = \sqrt{h^2+d^2}$, где $h$ — расстояние от $O$ до прямых.

Ответ: Если данные прямые пересекаются — пара биссектрис углов, образованных этими прямыми. Если прямые параллельны — прямая, параллельная им и проходящая посередине между ними.

и) имеют радиус данной длины и касаются данной прямой.

Пусть дан радиус $R_0$ и прямая $l$. Окружность с центром $O$ и радиусом $R_0$ касается прямой $l$. Условие касания окружности и прямой заключается в том, что расстояние от центра окружности до прямой равно её радиусу. Таким образом, расстояние от точки $O$ до прямой $l$ должно быть равно $R_0$.
Геометрическое место точек, находящихся на постоянном расстоянии от данной прямой, — это две прямые, параллельные данной и отстоящие от неё на это расстояние.

Ответ: Две прямые, параллельные данной прямой и отстоящие от неё на расстояние, равное данному радиусу.