Номер 698, страница 210 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

698. Есть прямоугольный треугольник KLM, катеты которого MK и ML соответственно равны 1 и 3. Найдите геометрическое место таких точек Z этой плоскости, что $ZK^2 + ZL^2 = 2ZM^2$.

Для решения данной задачи воспользуемся методом координат. Этот метод позволяет перевести геометрическую задачу на язык алгебры.

Введем прямоугольную (декартову) систему координат. Поскольку треугольник $KLM$ является прямоугольным с катетами $MK$ и $ML$, удобно разместить вершину с прямым углом, то есть точку $M$, в начале координат. Таким образом, координаты точки $M$ будут $(0, 0)$.

Расположим катеты вдоль осей координат. Пусть катет $MK$ лежит на оси $Ox$, а катет $ML$ — на оси $Oy$. Согласно условию, длина катета $MK$ равна 1, следовательно, точка $K$ будет иметь координаты $(1, 0)$. Длина катета $ML$ равна 3, поэтому точка $L$ будет иметь координаты $(0, 3)$.

Пусть точка $Z$ — это произвольная точка на плоскости с координатами $(x, y)$, которая удовлетворяет условию задачи. Наша цель — найти уравнение, связывающее $x$ и $y$. Это уравнение и будет определять искомое геометрическое место точек.

Условие, которому должны удовлетворять точки $Z$, задано равенством: $ZK^2 + ZL^2 = 2ZM^2$.

Выразим каждый член этого равенства через координаты $x$ и $y$, используя формулу для квадрата расстояния между двумя точками $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, которая имеет вид $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$.

Квадрат расстояния от точки $Z(x, y)$ до точки $K(1, 0)$:

$ZK^2 = (x - 1)^2 + (y - 0)^2 = (x - 1)^2 + y^2$

Квадрат расстояния от точки $Z(x, y)$ до точки $L(0, 3)$:

$ZL^2 = (x - 0)^2 + (y - 3)^2 = x^2 + (y - 3)^2$

Квадрат расстояния от точки $Z(x, y)$ до точки $M(0, 0)$:

$ZM^2 = (x - 0)^2 + (y - 0)^2 = x^2 + y^2$

Теперь подставим полученные выражения в исходное равенство:

$((x - 1)^2 + y^2) + (x^2 + (y - 3)^2) = 2(x^2 + y^2)$

Раскроем скобки и упростим уравнение. Сначала раскроем квадраты разности:

$(x^2 - 2x + 1 + y^2) + (x^2 + y^2 - 6y + 9) = 2x^2 + 2y^2$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$(x^2 + x^2) + (y^2 + y^2) - 2x - 6y + (1 + 9) = 2x^2 + 2y^2$

$2x^2 + 2y^2 - 2x - 6y + 10 = 2x^2 + 2y^2$

Как видим, в обеих частях уравнения присутствует одинаковый член $2x^2 + 2y^2$. Вычтем его из обеих частей:

$-2x - 6y + 10 = 0$

Это линейное уравнение. Для более простого вида разделим все его члены на -2:

$x + 3y - 5 = 0$

Полученное уравнение $x + 3y - 5 = 0$ является уравнением прямой линии на плоскости. Любая точка $(x, y)$, удовлетворяющая этому уравнению, принадлежит искомому геометрическому месту, и наоборот.

Таким образом, геометрическое место точек $Z$, удовлетворяющих условию $ZK^2 + ZL^2 = 2ZM^2$, есть прямая.

Ответ: Искомое геометрическое место точек — это прямая, которая в выбранной системе координат (где $M(0,0)$, $K(1,0)$, $L(0,3)$) задается уравнением $x + 3y - 5 = 0$.