Номер 11, страница 203 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

11. Как построить прямую, которая проходит через данную точку и касается данной окружности?

Для построения прямой, проходящей через данную точку и касающейся данной окружности, необходимо рассмотреть три возможных случая, зависящих от положения точки относительно окружности.

Случай 1. Точка находится вне окружности

Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и точка $P$, расположенная вне этой окружности.

Построение:

1. Соединим точку $P$ и центр окружности $O$ отрезком $OP$.
2. Найдем середину $M$ отрезка $OP$. Для этого построим серединный перпендикуляр к отрезку $OP$.
3. Построим новую окружность с центром в точке $M$ и радиусом, равным длине отрезка $OM$.
4. Эта новая окружность пересечет исходную окружность в двух точках. Обозначим их $T_1$ и $T_2$. Это и будут точки касания.
5. Проведем прямые через точку $P$ и точки $T_1$ и $T_2$. Прямые $PT_1$ и $PT_2$ являются искомыми касательными.

Доказательство:

Рассмотрим треугольник $OT_1P$. Он вписан в окружность с центром $M$ и диаметром $OP$. Угол $\angle OT_1P$ опирается на диаметр $OP$, следовательно, он прямой (равен $90^\circ$). Это означает, что радиус $OT_1$ исходной окружности перпендикулярен прямой $PT_1$. По определению, прямая, перпендикулярная радиусу в его точке на окружности, является касательной к этой окружности. Аналогичное доказательство справедливо и для точки $T_2$.

Ответ: Если точка лежит вне окружности, можно построить две касательные, проходящие через эту точку.

Случай 2. Точка находится на окружности

Пусть дана окружность с центром $O$ и точка $P$, лежащая на этой окружности.

Построение:

1. Проведем радиус $OP$, соединив центр окружности с точкой $P$.
2. Построим прямую, перпендикулярную радиусу $OP$ и проходящую через точку $P$. Эта прямая и будет искомой касательной.

Доказательство:

По определению, касательная к окружности — это прямая, имеющая с окружностью ровно одну общую точку. Известно, что касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Построенная нами прямая удовлетворяет этому свойству, следовательно, она является касательной.

Ответ: Если точка лежит на окружности, можно построить одну касательную, проходящую через эту точку.

Случай 3. Точка находится внутри окружности

Пусть дана окружность с центром $O$ и точка $P$, расположенная внутри этой окружности.

В этом случае любая прямая, проходящая через точку $P$, будет пересекать окружность в двух точках (являться секущей). Невозможно провести прямую через внутреннюю точку окружности так, чтобы она имела с окружностью только одну общую точку.

Ответ: Если точка лежит внутри окружности, построить касательную, проходящую через эту точку, невозможно. Задача не имеет решений.