Номер 7, страница 203 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

7. Как построить треугольник по трем его сторонам; треугольник по стороне и при-лежащим углам; треугольник по углу и прилежащим сторонам?

Как построить треугольник по трем его сторонам

Для построения треугольника по трем сторонам с помощью циркуля и линейки (без делений) необходимо иметь три отрезка, длины которых, скажем $a$, $b$ и $c$, удовлетворяют неравенству треугольника: сумма длин любых двух сторон должна быть больше длины третьей стороны ($a+b > c$, $a+c > b$, $b+c > a$). Если это условие не выполняется, построить треугольник невозможно.

Алгоритм построения:

1. С помощью линейки проведите произвольную прямую.
2. На этой прямой выберите произвольную точку и обозначьте ее как вершину $A$ будущего треугольника.
3. С помощью циркуля измерьте длину одной из сторон, например, стороны $c$.
4. Установите иглу циркуля в точку $A$ и проведите дугу, пересекающую прямую. Точку пересечения обозначьте как $B$. Отрезок $AB$ будет одной из сторон треугольника, равной $c$.
5. Измерьте циркулем длину второй стороны, например, стороны $b$.
6. Установите иглу циркуля в точку $A$ и проведите дугу окружности радиусом $b$.
7. Измерьте циркулем длину оставшейся стороны $a$.
8. Установите иглу циркуля в точку $B$ и проведите дугу окружности радиусом $a$ так, чтобы она пересеклась с предыдущей дугой.
9. Точку пересечения двух дуг обозначьте как $C$. Эта точка будет третьей вершиной треугольника. (Примечание: дуги пересекутся в двух точках, можно выбрать любую из них).
10. С помощью линейки соедините точки $A$ и $C$, а также $B$ и $C$.

В результате построен треугольник $ABC$ со сторонами $AB = c$, $AC = b$ и $BC = a$.

Ответ: Построение выполняется путем откладывания одной стороны на прямой и последующего нахождения третьей вершины как точки пересечения двух окружностей, построенных из концов первой стороны с радиусами, равными двум другим сторонам.

треугольник по стороне и прилежащим углам

Для построения треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам, скажем стороне $c$ и углам $\alpha$ и $\beta$, необходимо, чтобы сумма данных углов была меньше 180 градусов ($\alpha + \beta < 180^\circ$). Если это условие не выполняется, лучи, образующие углы, не пересекутся в нужной полуплоскости или будут параллельны.

Алгоритм построения:

1. Проведите произвольную прямую и отложите на ней с помощью циркуля и линейки отрезок $AB$, равный по длине данной стороне $c$.
2. От луча $AB$ в одной полуплоскости постройте угол, равный данному углу $\alpha$, с вершиной в точке $A$. Для этого из вершины данного угла $\alpha$ проведите произвольную дугу, пересекающую его стороны. Затем из точки $A$ проведите дугу того же радиуса, пересекающую прямую. Измерьте циркулем "раствор" угла (расстояние между точками пересечения первой дуги со сторонами угла $\alpha$) и отложите это расстояние на второй дуге от точки ее пересечения с прямой. Проведите луч из точки $A$ через полученную точку.
3. Аналогично, от луча $BA$ в той же полуплоскости постройте угол, равный данному углу $\beta$, с вершиной в точке $B$.
4. Лучи, построенные на шагах 2 и 3, пересекутся в некоторой точке. Обозначьте эту точку как $C$.
5. Полученный треугольник $ABC$ является искомым.

В результате построен треугольник $ABC$, у которого сторона $AB = c$, $\angle CAB = \alpha$ и $\angle CBA = \beta$.

Ответ: Построение выполняется путем откладывания данной стороны на прямой и построения от ее концов в одной полуплоскости двух данных углов. Третья вершина находится на пересечении сторон этих углов.

треугольник по углу и прилежащим сторонам

Это построение (по двум сторонам и углу между ними) возможно для любого угла $\alpha$ ($0^\circ < \alpha < 180^\circ$) и двух сторон $b$ и $c$ (длины которых больше нуля).

Алгоритм построения:

1. Проведите произвольный луч с началом в точке $A$.
2. От этого луча постройте угол, равный данному углу $\alpha$. Методика построения угла описана в предыдущем пункте. В результате вы получите два луча, выходящих из точки $A$ и образующих угол $\alpha$.
3. На одном из лучей отложите от вершины $A$ с помощью циркуля отрезок, равный по длине стороне $c$. Конец этого отрезка обозначьте точкой $B$.
4. На втором луче отложите от вершины $A$ с помощью циркуля отрезок, равный по длине стороне $b$. Конец этого отрезка обозначьте точкой $C$.
5. Соедините точки $B$ и $C$ с помощью линейки.

Треугольник $ABC$ является искомым, так как у него $\angle BAC = \alpha$, а прилежащие к нему стороны $AB = c$ и $AC = b$.

Ответ: Построение выполняется путем построения данного угла, откладывания на его сторонах от вершины отрезков, равных данным сторонам, и соединения их концов.