Номер 1, страница 203 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

1. Какая фигура является геометрическим местом точек, равноудаленных от сторон угла; от данной точки; от двух данных точек?

от сторон угла

Геометрическим местом точек (ГМТ), равноудаленных от сторон угла, является множество всех точек, расстояние от которых до каждой из сторон угла одинаково. Расстояние от точки до прямой (в данном случае, до стороны угла, которая является лучом) — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую.

Согласно свойству биссектрисы угла, любая точка, лежащая на биссектрисе, равноудалена от его сторон. И наоборот: любая точка, лежащая внутри угла и равноудаленная от его сторон, лежит на его биссектрисе.

Таким образом, искомая фигура — это луч, который выходит из вершины угла и делит его пополам.

Ответ: Биссектриса угла.

от данной точки

Геометрическим местом точек, равноудаленных от одной данной точки, является множество всех точек, находящихся на одинаковом заданном расстоянии от этой точки.

Пусть дана точка $O$ и некоторое расстояние $R > 0$. Множество всех точек $M$, для которых расстояние $|OM|$ равно $R$, по определению образует окружность. Точка $O$ является центром этой окружности, а расстояние $R$ — ее радиусом.

Ответ: Окружность.

от двух данных точек

Геометрическим местом точек, равноудаленных от двух данных точек, является множество всех точек, для каждой из которых расстояние до первой данной точки равно расстоянию до второй данной точки.

Пусть даны две точки $A$ и $B$. Мы ищем все точки $M$, для которых выполняется условие $|MA| = |MB|$. Каждая такая точка $M$ является вершиной равнобедренного треугольника $\triangle AMB$, в котором основанием служит отрезок $AB$. Медиана, проведенная из вершины $M$ к основанию $AB$, является также и высотой. Это означает, что точка $M$ лежит на прямой, которая перпендикулярна отрезку $AB$ и проходит через его середину.

Такая прямая называется серединным перпендикуляром к отрезку. Любая точка на серединном перпендикуляре к отрезку $AB$ равноудалена от точек $A$ и $B$.

Ответ: Серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти точки.