Номер 693, страница 200 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

693. У правильной шестиугольной призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ ребра основания равны 1, боковые ребра — 2. Найдите угол между прямыми:

а) $AB_1$ и $B_1C$;

б) $AB_1$ и $B_1D$;

в) $AB_1$ и $B_1E$;

г) $AB_1$ и $B_1F$;

д) $AC_1$ и $B_1D$;

е) $AC_1$ и $B_1E$.

Для решения задачи воспользуемся координатным методом. Введем прямоугольную систему координат, расположив начало координат в центре нижнего основания правильной шестиугольной призмы. Ось $z$ направим перпендикулярно основанию (вдоль боковых ребер), а ось $x$ проведем через вершину $D$.

По условию, ребра основания равны 1, а боковые ребра равны 2. Тогда координаты вершин призмы будут следующими:

• $A(-1, 0, 0)$
• $B(-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
• $C(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
• $D(1, 0, 0)$
• $E(1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$
• $F(-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$
• $A_1(-1, 0, 2)$
• $B_1(-1/2, \sqrt{3}/2, 2)$
• $C_1(1/2, \sqrt{3}/2, 2)$
• $D_1(1, 0, 2)$
• $E_1(1/2, -\sqrt{3}/2, 2)$
• $F_1(-1/2, -\sqrt{3}/2, 2)$

Угол $\alpha$ между двумя векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ находится по формуле: $\cos \alpha = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$. Угол между скрещивающимися прямыми — это острый угол между их направляющими векторами, поэтому в этом случае используется модуль скалярного произведения: $\cos \alpha = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$.

а) $AB_1$ и $B_1C$

Прямые $AB_1$ и $B_1C$ пересекаются в точке $B_1$. Угол между ними — это угол $\angle AB_1C$. Найдем его, используя векторы $\vec{B_1A}$ и $\vec{B_1C}$.

Координаты векторов:

$\vec{B_1A} = A - B_1 = (-1 - (-1/2), 0 - \sqrt{3}/2, 0 - 2) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, -2)$

$\vec{B_1C} = C - B_1 = (1/2 - (-1/2), \sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2, 0 - 2) = (1, 0, -2)$

Длины векторов:

$|\vec{B_1A}| = \sqrt{(-1/2)^2 + (-\sqrt{3}/2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{1/4 + 3/4 + 4} = \sqrt{5}$

$|\vec{B_1C}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$

Скалярное произведение:

$\vec{B_1A} \cdot \vec{B_1C} = (-1/2) \cdot 1 + (-\sqrt{3}/2) \cdot 0 + (-2) \cdot (-2) = -1/2 + 4 = 7/2$

Косинус угла $\alpha$ между векторами:

$\cos \alpha = \frac{7/2}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{7/2}{5} = \frac{7}{10}$

Ответ: $\arccos(\frac{7}{10})$.

б) $AB_1$ и $B_1D$

Прямые пересекаются в точке $B_1$. Искомый угол — это $\angle AB_1D$. Найдем его через векторы $\vec{B_1A}$ и $\vec{B_1D}$.

Координаты векторов:

$\vec{B_1A} = (-1/2, -\sqrt{3}/2, -2)$

$\vec{B_1D} = D - B_1 = (1 - (-1/2), 0 - \sqrt{3}/2, 0 - 2) = (3/2, -\sqrt{3}/2, -2)$

Длины векторов:

$|\vec{B_1A}| = \sqrt{5}$

$|\vec{B_1D}| = \sqrt{(3/2)^2 + (-\sqrt{3}/2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{9/4 + 3/4 + 4} = \sqrt{3+4} = \sqrt{7}$

Скалярное произведение:

$\vec{B_1A} \cdot \vec{B_1D} = (-1/2) \cdot (3/2) + (-\sqrt{3}/2) \cdot (-\sqrt{3}/2) + (-2) \cdot (-2) = -3/4 + 3/4 + 4 = 4$

Косинус угла $\beta$ между векторами:

$\cos \beta = \frac{4}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{7}} = \frac{4}{\sqrt{35}} = \frac{4\sqrt{35}}{35}$

Ответ: $\arccos(\frac{4}{\sqrt{35}})$.

в) $AB_1$ и $B_1E$

Прямые пересекаются в точке $B_1$. Искомый угол — это $\angle AB_1E$. Найдем его через векторы $\vec{B_1A}$ и $\vec{B_1E}$.

Координаты векторов:

$\vec{B_1A} = (-1/2, -\sqrt{3}/2, -2)$

$\vec{B_1E} = E - B_1 = (1/2 - (-1/2), -\sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2, 0 - 2) = (1, -\sqrt{3}, -2)$

Длины векторов:

$|\vec{B_1A}| = \sqrt{5}$

$|\vec{B_1E}| = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 3 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

Скалярное произведение:

$\vec{B_1A} \cdot \vec{B_1E} = (-1/2) \cdot 1 + (-\sqrt{3}/2) \cdot (-\sqrt{3}) + (-2) \cdot (-2) = -1/2 + 3/2 + 4 = 1 + 4 = 5$

Косинус угла $\gamma$ между векторами:

$\cos \gamma = \frac{5}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{8}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{8}} = \frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{10}}{4}$

Ответ: $\arccos(\frac{\sqrt{10}}{4})$.

г) $AB_1$ и $B_1F$

Прямые пересекаются в точке $B_1$. Искомый угол — это $\angle AB_1F$. Найдем его через векторы $\vec{B_1A}$ и $\vec{B_1F}$.

Координаты векторов:

$\vec{B_1A} = (-1/2, -\sqrt{3}/2, -2)$

$\vec{B_1F} = F - B_1 = (-1/2 - (-1/2), -\sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2, 0 - 2) = (0, -\sqrt{3}, -2)$

Длины векторов:

$|\vec{B_1A}| = \sqrt{5}$

$|\vec{B_1F}| = \sqrt{0^2 + (-\sqrt{3})^2 + (-2)^2} = \sqrt{0 + 3 + 4} = \sqrt{7}$

Скалярное произведение:

$\vec{B_1A} \cdot \vec{B_1F} = (-1/2) \cdot 0 + (-\sqrt{3}/2) \cdot (-\sqrt{3}) + (-2) \cdot (-2) = 0 + 3/2 + 4 = 11/2$

Косинус угла $\delta$ между векторами:

$\cos \delta = \frac{11/2}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{7}} = \frac{11}{2\sqrt{35}} = \frac{11\sqrt{35}}{70}$

Ответ: $\arccos(\frac{11}{2\sqrt{35}})$.

д) $AC_1$ и $B_1D$

Прямые $AC_1$ и $B_1D$ являются скрещивающимися. Угол между ними равен углу между их направляющими векторами $\vec{AC_1}$ и $\vec{B_1D}$.

Координаты векторов:

$\vec{AC_1} = C_1 - A = (1/2 - (-1), \sqrt{3}/2 - 0, 2 - 0) = (3/2, \sqrt{3}/2, 2)$

$\vec{B_1D} = D - B_1 = (1 - (-1/2), 0 - \sqrt{3}/2, 0 - 2) = (3/2, -\sqrt{3}/2, -2)$

Длины векторов:

$|\vec{AC_1}| = \sqrt{(3/2)^2 + (\sqrt{3}/2)^2 + 2^2} = \sqrt{9/4 + 3/4 + 4} = \sqrt{3+4} = \sqrt{7}$

$|\vec{B_1D}| = \sqrt{(3/2)^2 + (-\sqrt{3}/2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{9/4 + 3/4 + 4} = \sqrt{3+4} = \sqrt{7}$

Скалярное произведение:

$\vec{AC_1} \cdot \vec{B_1D} = (3/2) \cdot (3/2) + (\sqrt{3}/2) \cdot (-\sqrt{3}/2) + 2 \cdot (-2) = 9/4 - 3/4 - 4 = 6/4 - 4 = 3/2 - 4 = -5/2$

Косинус угла $\epsilon$ между прямыми:

$\cos \epsilon = \frac{|\vec{AC_1} \cdot \vec{B_1D}|}{|\vec{AC_1}| \cdot |\vec{B_1D}|} = \frac{|-5/2|}{\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}} = \frac{5/2}{7} = \frac{5}{14}$

Ответ: $\arccos(\frac{5}{14})$.

е) $AC_1$ и $B_1E$

Прямые $AC_1$ и $B_1E$ являются скрещивающимися. Угол между ними равен углу между их направляющими векторами $\vec{AC_1}$ и $\vec{B_1E}$.

Координаты векторов:

$\vec{AC_1} = (3/2, \sqrt{3}/2, 2)$

$\vec{B_1E} = E - B_1 = (1/2 - (-1/2), -\sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2, 0 - 2) = (1, -\sqrt{3}, -2)$

Длины векторов:

$|\vec{AC_1}| = \sqrt{7}$

$|\vec{B_1E}| = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 3 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

Скалярное произведение:

$\vec{AC_1} \cdot \vec{B_1E} = (3/2) \cdot 1 + (\sqrt{3}/2) \cdot (-\sqrt{3}) + 2 \cdot (-2) = 3/2 - 3/2 - 4 = -4$

Косинус угла $\zeta$ между прямыми:

$\cos \zeta = \frac{|\vec{AC_1} \cdot \vec{B_1E}|}{|\vec{AC_1}| \cdot |\vec{B_1E}|} = \frac{|-4|}{\sqrt{7} \cdot \sqrt{8}} = \frac{4}{\sqrt{56}} = \frac{4}{2\sqrt{14}} = \frac{2}{\sqrt{14}} = \frac{2\sqrt{14}}{14} = \frac{\sqrt{14}}{7}$

Ответ: $\arccos(\frac{\sqrt{14}}{7})$.