Номер 692, страница 200 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

692. У правильной шестиугольной призмы $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$ ребра основания равны 1, боковые ребра — 2. Найдите расстояние между прямыми:

a) $AB_1$ и $BC_1$;

б) $AB_1$ и $BD_1$;

в) $AB_1$ и $BE_1$;

г) $AB_1$ и $BF_1$;

д) $AC_1$ и $BD_1$;

е) $AC_1$ и $BE_1$.

Для решения задачи воспользуемся методом координат. Введем прямоугольную систему координат, поместив начало в центр $O$ нижнего основания правильной шестиугольной призмы. Ось $Oz$ направим вдоль высоты призмы (параллельно боковым ребрам), а ось $Ox$ проведем через вершину $A$ нижнего основания. Так как призма правильная, ее основания — правильные шестиугольники. Сторона основания равна 1, боковое ребро равно 2.

В этой системе координат вершины призмы будут иметь следующие координаты:

• $A(1, 0, 0)$
• $B(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
• $C(-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
• $D(-1, 0, 0)$
• $E(-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$
• $F(1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$
• $A_1(1, 0, 2)$
• $B_1(1/2, \sqrt{3}/2, 2)$
• $C_1(-1/2, \sqrt{3}/2, 2)$
• $D_1(-1, 0, 2)$
• $E_1(-1/2, -\sqrt{3}/2, 2)$
• $F_1(1/2, -\sqrt{3}/2, 2)$

Расстояние $d$ между скрещивающимися прямыми, одна из которых проходит через точку $M_1$ и имеет направляющий вектор $\vec{s_1}$, а другая — через точку $M_2$ с направляющим вектором $\vec{s_2}$, находится по формуле смешанного произведения векторов:

$d = \frac{|\vec{M_1M_2} \cdot (\vec{s_1} \times \vec{s_2})|}{|\vec{s_1} \times \vec{s_2}|}$

Во всех случаях в качестве точек на прямых будем брать точки $A$ и $B$, так как одна из прямых всегда проходит через $A$, а вторая — через $B$. Вектор, соединяющий эти точки: $\vec{AB} = B - A = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$.

а) $AB_1$ и $BC_1$

Прямая $AB_1$ проходит через точку $A(1,0,0)$ и имеет направляющий вектор $\vec{s_1} = \vec{AB_1} = B_1 - A = (1/2-1, \sqrt{3}/2-0, 2-0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 2)$.

Прямая $BC_1$ проходит через точку $B(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$ и имеет направляющий вектор $\vec{s_2} = \vec{BC_1} = C_1 - B = (-1/2-1/2, \sqrt{3}/2-\sqrt{3}/2, 2-0) = (-1, 0, 2)$.

Найдем векторное произведение направляющих векторов:

$\vec{s_1} \times \vec{s_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1/2 & \sqrt{3}/2 & 2 \\ -1 & 0 & 2 \end{vmatrix} = (\sqrt{3}, -(-1+2), \sqrt{3}/2) = (\sqrt{3}, -1, \sqrt{3}/2)$.

Модуль этого вектора:

$|\vec{s_1} \times \vec{s_2}| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2 + (\sqrt{3}/2)^2} = \sqrt{3+1+3/4} = \sqrt{19/4} = \frac{\sqrt{19}}{2}$.

Найдем смешанное произведение:

$\vec{AB} \cdot (\vec{s_1} \times \vec{s_2}) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0) \cdot (\sqrt{3}, -1, \sqrt{3}/2) = -1/2 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3}/2 \cdot (-1) = -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} = -\sqrt{3}$.

Расстояние между прямыми:

$d = \frac{|-\sqrt{3}|}{\sqrt{19}/2} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{19}} = \frac{2\sqrt{57}}{19}$.

Ответ: $\frac{2\sqrt{57}}{19}$.

б) $AB_1$ и $BD_1$

Направляющий вектор для $AB_1$: $\vec{s_1} = \vec{AB_1} = (-1/2, \sqrt{3}/2, 2)$.

Направляющий вектор для $BD_1$: $\vec{s_2} = \vec{BD_1} = D_1 - B = (-1-1/2, 0-\sqrt{3}/2, 2-0) = (-3/2, -\sqrt{3}/2, 2)$.

Векторное произведение:

$\vec{s_1} \times \vec{s_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1/2 & \sqrt{3}/2 & 2 \\ -3/2 & -\sqrt{3}/2 & 2 \end{vmatrix} = (\sqrt{3}+\sqrt{3}, -(-1+3), \sqrt{3}/4+3\sqrt{3}/4) = (2\sqrt{3}, -2, \sqrt{3})$.

Модуль векторного произведения:

$|\vec{s_1} \times \vec{s_2}| = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 + (-2)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{12+4+3} = \sqrt{19}$.

Смешанное произведение:

$\vec{AB} \cdot (\vec{s_1} \times \vec{s_2}) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0) \cdot (2\sqrt{3}, -2, \sqrt{3}) = -1/2 \cdot 2\sqrt{3} + \sqrt{3}/2 \cdot (-2) = -\sqrt{3} - \sqrt{3} = -2\sqrt{3}$.

Расстояние:

$d = \frac{|-2\sqrt{3}|}{\sqrt{19}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{19}} = \frac{2\sqrt{57}}{19}$.

Ответ: $\frac{2\sqrt{57}}{19}$.

в) $AB_1$ и $BE_1$

Направляющий вектор для $AB_1$: $\vec{s_1} = \vec{AB_1} = (-1/2, \sqrt{3}/2, 2)$.

Направляющий вектор для $BE_1$: $\vec{s_2} = \vec{BE_1} = E_1 - B = (-1/2-1/2, -\sqrt{3}/2-\sqrt{3}/2, 2-0) = (-1, -\sqrt{3}, 2)$.

Векторное произведение:

$\vec{s_1} \times \vec{s_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1/2 & \sqrt{3}/2 & 2 \\ -1 & -\sqrt{3} & 2 \end{vmatrix} = (\sqrt{3}+2\sqrt{3}, -(-1+2), \sqrt{3}/2+\sqrt{3}/2) = (3\sqrt{3}, -1, \sqrt{3})$.

Модуль векторного произведения:

$|\vec{s_1} \times \vec{s_2}| = \sqrt{(3\sqrt{3})^2 + (-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{27+1+3} = \sqrt{31}$.

Смешанное произведение:

$\vec{AB} \cdot (\vec{s_1} \times \vec{s_2}) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0) \cdot (3\sqrt{3}, -1, \sqrt{3}) = -3\sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2 = -2\sqrt{3}$.

Расстояние:

$d = \frac{|-2\sqrt{3}|}{\sqrt{31}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{31}} = \frac{2\sqrt{93}}{31}$.

Ответ: $\frac{2\sqrt{93}}{31}$.

г) $AB_1$ и $BF_1$

Направляющий вектор для $AB_1$: $\vec{s_1} = \vec{AB_1} = (-1/2, \sqrt{3}/2, 2)$.

Направляющий вектор для $BF_1$: $\vec{s_2} = \vec{BF_1} = F_1 - B = (1/2-1/2, -\sqrt{3}/2-\sqrt{3}/2, 2-0) = (0, -\sqrt{3}, 2)$.

Векторное произведение:

$\vec{s_1} \times \vec{s_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1/2 & \sqrt{3}/2 & 2 \\ 0 & -\sqrt{3} & 2 \end{vmatrix} = (\sqrt{3}+2\sqrt{3}, -(-1-0), \sqrt{3}/2-0) = (3\sqrt{3}, 1, \sqrt{3}/2)$.

Модуль векторного произведения:

$|\vec{s_1} \times \vec{s_2}| = \sqrt{(3\sqrt{3})^2 + 1^2 + (\sqrt{3}/2)^2} = \sqrt{27+1+3/4} = \sqrt{115/4} = \frac{\sqrt{115}}{2}$.

Смешанное произведение:

$\vec{AB} \cdot (\vec{s_1} \times \vec{s_2}) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0) \cdot (3\sqrt{3}, 1, \sqrt{3}/2) = -3\sqrt{3}/2 + \sqrt{3}/2 = -\sqrt{3}$.

Расстояние:

$d = \frac{|-\sqrt{3}|}{\sqrt{115}/2} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{115}} = \frac{2\sqrt{345}}{115}$.

Ответ: $\frac{2\sqrt{345}}{115}$.

д) $AC_1$ и $BD_1$

Направляющий вектор для $AC_1$: $\vec{s_1} = \vec{AC_1} = C_1 - A = (-1/2-1, \sqrt{3}/2-0, 2-0) = (-3/2, \sqrt{3}/2, 2)$.

Направляющий вектор для $BD_1$: $\vec{s_2} = \vec{BD_1} = (-3/2, -\sqrt{3}/2, 2)$ (из п. б).

Векторное произведение:

$\vec{s_1} \times \vec{s_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -3/2 & \sqrt{3}/2 & 2 \\ -3/2 & -\sqrt{3}/2 & 2 \end{vmatrix} = (\sqrt{3}+\sqrt{3}, -(-3+3), 3\sqrt{3}/4+3\sqrt{3}/4) = (2\sqrt{3}, 0, 3\sqrt{3}/2)$.

Модуль векторного произведения:

$|\vec{s_1} \times \vec{s_2}| = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 + 0^2 + (3\sqrt{3}/2)^2} = \sqrt{12+27/4} = \sqrt{75/4} = \frac{5\sqrt{3}}{2}$.

Смешанное произведение:

$\vec{AB} \cdot (\vec{s_1} \times \vec{s_2}) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0) \cdot (2\sqrt{3}, 0, 3\sqrt{3}/2) = -1/2 \cdot 2\sqrt{3} + 0 = -\sqrt{3}$.

Расстояние:

$d = \frac{|-\sqrt{3}|}{5\sqrt{3}/2} = \frac{\sqrt{3} \cdot 2}{5\sqrt{3}} = \frac{2}{5}$.

Ответ: $\frac{2}{5}$.

е) $AC_1$ и $BE_1$

Направляющий вектор для $AC_1$: $\vec{s_1} = \vec{AC_1} = (-3/2, \sqrt{3}/2, 2)$ (из п. д).

Направляющий вектор для $BE_1$: $\vec{s_2} = \vec{BE_1} = (-1, -\sqrt{3}, 2)$ (из п. в).

Векторное произведение:

$\vec{s_1} \times \vec{s_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -3/2 & \sqrt{3}/2 & 2 \\ -1 & -\sqrt{3} & 2 \end{vmatrix} = (\sqrt{3}+2\sqrt{3}, -(-3+2), 3\sqrt{3}/2+\sqrt{3}/2) = (3\sqrt{3}, 1, 2\sqrt{3})$.

Модуль векторного произведения:

$|\vec{s_1} \times \vec{s_2}| = \sqrt{(3\sqrt{3})^2 + 1^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{27+1+12} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$.

Смешанное произведение:

$\vec{AB} \cdot (\vec{s_1} \times \vec{s_2}) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0) \cdot (3\sqrt{3}, 1, 2\sqrt{3}) = -3\sqrt{3}/2 + \sqrt{3}/2 = -\sqrt{3}$.

Расстояние:

$d = \frac{|-\sqrt{3}|}{2\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{30}}{20}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{30}}{20}$.