Номер 696, страница 200 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

696. У правильной шестиугольной призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ ребра основания равны 1, боковые ребра — 2. Найдите расстояние от вершины $D$ призмы до плоскости:

а) $AB_1C$;

в) $A_1BF$;

д) $A_1BE_1$;

ж) $FBD_1$;

б) $A_1BD_1$;

г) $A_1BF_1$;

е) $AE_1C_1$;

з) $F_1BE_1$.

Для решения задачи введем трехмерную декартову систему координат. Пусть центр нижнего основания правильной шестиугольной призмы совпадает с началом координат $O(0, 0, 0)$. Ось $Oz$ направим вдоль бокового ребра $DD_1$. Вершины нижнего основания $ABCDEF$ лежат в плоскости $z=0$, а вершины верхнего основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ — в плоскости $z=2$ (так как боковые ребра равны 2).

В правильном шестиугольнике со стороной $a=1$ расстояние от центра до любой вершины также равно 1. Разместим вершину $A$ на положительной полуоси $Ox$. Координаты вершин будут следующими:

Нижнее основание ($z=0$):
$A(1, 0, 0)$
$B(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$
$C(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$
$D(-1, 0, 0)$
$E(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$
$F(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

Верхнее основание ($z=2$):
$A_1(1, 0, 2)$
$B_1(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 2)$
$C_1(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 2)$
$D_1(-1, 0, 2)$
$E_1(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 2)$
$F_1(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 2)$

Нам нужно найти расстояние от вершины $D(-1, 0, 0)$ до различных плоскостей. Расстояние от точки $M_0(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости, заданной уравнением $Ax + By + Cz + D_0 = 0$, вычисляется по формуле:$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D_0|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

Для нахождения уравнения плоскости по трем точкам $P_1, P_2, P_3$ найдем два вектора $\vec{u} = \vec{P_1P_2}$ и $\vec{v} = \vec{P_1P_3}$, лежащие в плоскости. Нормальный вектор к плоскости $\vec{n}$ найдем как их векторное произведение: $\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v}$. Уравнение плоскости будет иметь вид $A(x-x_1) + B(y-y_1) + C(z-z_1) = 0$, где $(A, B, C)$ — координаты вектора $\vec{n}$, а $(x_1, y_1, z_1)$ — координаты точки $P_1$.

а) $AB_1C$

Найдем расстояние от точки $D(-1, 0, 0)$ до плоскости, проходящей через точки $A(1, 0, 0)$, $B_1(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 2)$ и $C(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Векторы в плоскости:$\vec{u} = \vec{AB_1} = (\frac{1}{2}-1, \frac{\sqrt{3}}{2}-0, 2-0) = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 2)$$\vec{v} = \vec{AC} = (-\frac{1}{2}-1, \frac{\sqrt{3}}{2}-0, 0-0) = (-\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

Нормальный вектор:$\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} = (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 0 - 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}, 2 \cdot (-\frac{3}{2}) - (-\frac{1}{2}) \cdot 0, -\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (-\frac{3}{2})) = (-\sqrt{3}, -3, \frac{\sqrt{3}}{2})$Для удобства возьмем коллинеарный вектор, умножив на -2: $\vec{n'} = (2\sqrt{3}, 6, -\sqrt{3})$.

Уравнение плоскости (используя точку A):$2\sqrt{3}(x - 1) + 6(y - 0) - \sqrt{3}(z - 0) = 0$$2\sqrt{3}x - 2\sqrt{3} + 6y - \sqrt{3}z = 0$

Расстояние от $D(-1, 0, 0)$:$d = \frac{|2\sqrt{3}(-1) + 6(0) - \sqrt{3}(0) - 2\sqrt{3}|}{\sqrt{(2\sqrt{3})^2 + 6^2 + (-\sqrt{3})^2}} = \frac{|-2\sqrt{3} - 2\sqrt{3}|}{\sqrt{12 + 36 + 3}} = \frac{|-4\sqrt{3}|}{\sqrt{51}} = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}\sqrt{17}} = \frac{4}{\sqrt{17}} = \frac{4\sqrt{17}}{17}$

Ответ: $\frac{4\sqrt{17}}{17}$

б) $A_1BD_1$

Плоскость проходит через точки $A_1(1, 0, 2)$, $B(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ и $D_1(-1, 0, 2)$.

Векторы в плоскости:$\vec{u} = \vec{A_1B} = (\frac{1}{2}-1, \frac{\sqrt{3}}{2}-0, 0-2) = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, -2)$$\vec{v} = \vec{A_1D_1} = (-1-1, 0-0, 2-2) = (-2, 0, 0)$

Нормальный вектор:$\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} = (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 0 - (-2) \cdot 0, (-2) \cdot (-2) - (-\frac{1}{2}) \cdot 0, -\frac{1}{2} \cdot 0 - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (-2)) = (0, 4, \sqrt{3})$

Уравнение плоскости (используя точку $A_1$):$0(x - 1) + 4(y - 0) + \sqrt{3}(z - 2) = 0$$4y + \sqrt{3}z - 2\sqrt{3} = 0$

Расстояние от $D(-1, 0, 0)$:$d = \frac{|4(0) + \sqrt{3}(0) - 2\sqrt{3}|}{\sqrt{0^2 + 4^2 + (\sqrt{3})^2}} = \frac{|-2\sqrt{3}|}{\sqrt{16 + 3}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{19}} = \frac{2\sqrt{57}}{19}$

Ответ: $\frac{2\sqrt{57}}{19}$

в) $A_1BF$

Плоскость проходит через точки $A_1(1, 0, 2)$, $B(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ и $F(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Векторы в плоскости:$\vec{u} = \vec{A_1B} = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, -2)$$\vec{v} = \vec{A_1F} = (\frac{1}{2}-1, -\frac{\sqrt{3}}{2}-0, 0-2) = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, -2)$

Нормальный вектор:$\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} = (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (-2) - (-2) \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}), (-2) \cdot (-\frac{1}{2}) - (-\frac{1}{2}) \cdot (-2), -\frac{1}{2} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (-\frac{1}{2})) = (-\sqrt{3}-\sqrt{3}, 1-1, \frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{\sqrt{3}}{4}) = (-2\sqrt{3}, 0, \frac{\sqrt{3}}{2})$Возьмем коллинеарный вектор $\vec{n'} = (-4, 0, 1)$.

Уравнение плоскости (используя точку $A_1$):$-4(x - 1) + 0(y - 0) + 1(z - 2) = 0$$-4x + 4 + z - 2 = 0 \Rightarrow 4x - z - 2 = 0$

Расстояние от $D(-1, 0, 0)$:$d = \frac{|4(-1) - 0 - 2|}{\sqrt{4^2 + 0^2 + (-1)^2}} = \frac{|-6|}{\sqrt{16 + 1}} = \frac{6}{\sqrt{17}} = \frac{6\sqrt{17}}{17}$

Ответ: $\frac{6\sqrt{17}}{17}$

г) $A_1BF_1$

Плоскость проходит через точки $A_1(1, 0, 2)$, $B(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ и $F_1(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 2)$.

Векторы в плоскости:$\vec{u} = \vec{A_1B} = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, -2)$$\vec{v} = \vec{A_1F_1} = (\frac{1}{2}-1, -\frac{\sqrt{3}}{2}-0, 2-2) = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

Нормальный вектор:$\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} = (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 0 - (-2) \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}), (-2) \cdot (-\frac{1}{2}) - (-\frac{1}{2}) \cdot 0, -\frac{1}{2} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (-\frac{1}{2})) = (-\sqrt{3}, 1, \frac{\sqrt{3}}{2})$Возьмем коллинеарный вектор $\vec{n'} = (-2\sqrt{3}, 2, \sqrt{3})$.

Уравнение плоскости (используя точку $A_1$):$-2\sqrt{3}(x - 1) + 2(y - 0) + \sqrt{3}(z - 2) = 0$$-2\sqrt{3}x + 2\sqrt{3} + 2y + \sqrt{3}z - 2\sqrt{3} = 0 \Rightarrow -2\sqrt{3}x + 2y + \sqrt{3}z = 0$$2\sqrt{3}x - 2y - \sqrt{3}z = 0$

Расстояние от $D(-1, 0, 0)$:$d = \frac{|2\sqrt{3}(-1) - 2(0) - \sqrt{3}(0)|}{\sqrt{(2\sqrt{3})^2 + (-2)^2 + (-\sqrt{3})^2}} = \frac{|-2\sqrt{3}|}{\sqrt{12 + 4 + 3}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{19}} = \frac{2\sqrt{57}}{19}$

Ответ: $\frac{2\sqrt{57}}{19}$

д) $A_1BE_1$

Плоскость проходит через точки $A_1(1, 0, 2)$, $B(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ и $E_1(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 2)$.

Векторы в плоскости:$\vec{u} = \vec{A_1B} = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, -2)$$\vec{v} = \vec{A_1E_1} = (-\frac{1}{2}-1, -\frac{\sqrt{3}}{2}-0, 2-2) = (-\frac{3}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

Нормальный вектор:$\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} = (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 0 - (-2) \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}), (-2) \cdot (-\frac{3}{2}) - (-\frac{1}{2}) \cdot 0, -\frac{1}{2} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (-\frac{3}{2})) = (-\sqrt{3}, 3, \frac{4\sqrt{3}}{4}) = (-\sqrt{3}, 3, \sqrt{3})$Возьмем коллинеарный вектор $\vec{n'} = (-1, \sqrt{3}, 1)$.

Уравнение плоскости (используя точку $A_1$):$-1(x - 1) + \sqrt{3}(y - 0) + 1(z - 2) = 0$$-x + 1 + \sqrt{3}y + z - 2 = 0 \Rightarrow -x + \sqrt{3}y + z - 1 = 0$$x - \sqrt{3}y - z + 1 = 0$

Проверим, лежит ли точка $D(-1, 0, 0)$ в этой плоскости:$-1 - \sqrt{3}(0) - (0) + 1 = -1 + 1 = 0$. Точка $D$ лежит в плоскости $A_1BE_1$, поэтому расстояние равно 0.

Ответ: $0$

е) $AE_1C_1$

Плоскость проходит через точки $A(1, 0, 0)$, $E_1(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 2)$ и $C_1(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 2)$.

Векторы в плоскости:$\vec{u} = \vec{AE_1} = (-\frac{1}{2}-1, -\frac{\sqrt{3}}{2}-0, 2-0) = (-\frac{3}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 2)$$\vec{v} = \vec{AC_1} = (-\frac{1}{2}-1, \frac{\sqrt{3}}{2}-0, 2-0) = (-\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 2)$

Нормальный вектор:$\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} = (-\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2 - 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}, 2 \cdot (-\frac{3}{2}) - (-\frac{3}{2}) \cdot 2, -\frac{3}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - (-\frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot (-\frac{3}{2})) = (-\sqrt{3}-\sqrt{3}, -3+3, -\frac{3\sqrt{3}}{4}-\frac{3\sqrt{3}}{4}) = (-2\sqrt{3}, 0, -\frac{3\sqrt{3}}{2})$Возьмем коллинеарный вектор $\vec{n'} = (4, 0, 3)$.

Уравнение плоскости (используя точку A):$4(x - 1) + 0(y - 0) + 3(z - 0) = 0$$4x + 3z - 4 = 0$

Расстояние от $D(-1, 0, 0)$:$d = \frac{|4(-1) + 3(0) - 4|}{\sqrt{4^2 + 0^2 + 3^2}} = \frac{|-8|}{\sqrt{16 + 9}} = \frac{8}{5}$

Ответ: $\frac{8}{5}$

ж) $FBD_1$

Плоскость проходит через точки $F(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$, $B(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ и $D_1(-1, 0, 2)$.

Векторы в плоскости:$\vec{u} = \vec{FB} = (\frac{1}{2}-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}-(-\frac{\sqrt{3}}{2}), 0-0) = (0, \sqrt{3}, 0)$$\vec{v} = \vec{FD_1} = (-1-\frac{1}{2}, 0-(-\frac{\sqrt{3}}{2}), 2-0) = (-\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 2)$

Нормальный вектор:$\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} = (\sqrt{3} \cdot 2 - 0 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}, 0 \cdot (-\frac{3}{2}) - 0 \cdot 2, 0 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3} \cdot (-\frac{3}{2})) = (2\sqrt{3}, 0, \frac{3\sqrt{3}}{2})$Возьмем коллинеарный вектор $\vec{n'} = (4, 0, 3)$.

Уравнение плоскости (используя точку $D_1$):$4(x - (-1)) + 0(y - 0) + 3(z - 2) = 0$$4(x + 1) + 3z - 6 = 0 \Rightarrow 4x + 4 + 3z - 6 = 0 \Rightarrow 4x + 3z - 2 = 0$

Расстояние от $D(-1, 0, 0)$:$d = \frac{|4(-1) + 3(0) - 2|}{\sqrt{4^2 + 0^2 + 3^2}} = \frac{|-6|}{\sqrt{16 + 9}} = \frac{6}{5}$

Ответ: $\frac{6}{5}$

з) $F_1BE_1$

Плоскость проходит через точки $F_1(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 2)$, $B(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ и $E_1(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 2)$.

Векторы в плоскости:$\vec{u} = \vec{F_1B} = (\frac{1}{2}-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}-(-\frac{\sqrt{3}}{2}), 0-2) = (0, \sqrt{3}, -2)$$\vec{v} = \vec{F_1E_1} = (-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}-(-\frac{\sqrt{3}}{2}), 2-2) = (-1, 0, 0)$

Нормальный вектор:$\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} = (\sqrt{3} \cdot 0 - (-2) \cdot 0, (-2) \cdot (-1) - 0 \cdot 0, 0 \cdot 0 - \sqrt{3} \cdot (-1)) = (0, 2, \sqrt{3})$

Уравнение плоскости (используя точку B):$0(x - \frac{1}{2}) + 2(y - \frac{\sqrt{3}}{2}) + \sqrt{3}(z - 0) = 0$$2y - \sqrt{3} + \sqrt{3}z = 0$

Расстояние от $D(-1, 0, 0)$:$d = \frac{|2(0) + \sqrt{3}(0) - \sqrt{3}|}{\sqrt{0^2 + 2^2 + (\sqrt{3})^2}} = \frac{|-\sqrt{3}|}{\sqrt{4 + 3}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{21}}{7}$

Ответ: $\frac{\sqrt{21}}{7}$